Verificació amb un model de forma simple¶

Anàlisi estàtica elàstica¶

Aquesta verificació utilitza una biga en voladís mallada tal com es mostra a la Figura 9.1.1. Es van realitzar anàlisis per a set casos, d’exA a exG, variant les condicions de càrrega tal com es mostra a la Figura 9.1.2. El cas exG té les mateixes condicions de càrrega que exA, però utilitza un solucionador directe.

El resultat de verificació de cada condició de càrrega es presenta a les Taules 9.1.1–9.1.7.

Fig. 9.1.1 Exemple de malla d’una biga en voladís (elements hexaèdrics)

	(a) exA, G: Càrrega concentrada
	(b) exD: Gravetat
	(c) exB: Càrrega distribuïda superficialment
	(d) exE: Força centrífuga
	(e) exC: Càrrega volumètrica
	(f) exF : Càrrega tèrmica

Anàlisi estàtica no lineal¶

(2-1) exnl1: Anàlisi no lineal geomètrica¶

El model de verificació del cas exI és idèntic als models dels casos exA a exG. La Figura 9.1.3 mostra un esquema del model de verificació. En aquest model es realitza una anàlisi geomètricament no lineal. Els resultats de verificació es mostren a la Taula 9.1.8.

El càlcul no lineal utilitza 10 passos de càrrega amb un increment de càrrega de 0.1P fins a la càrrega final de 1.0P.

Fig. 9.1.3 Model de verificació

(2-2) exnl2: Anàlisi de deformació elastoplàstica¶

Aquest problema de verificació es basa en el Test NL1 de NAFEMS, de la National Agency for Finite Element Methods and Standards (Regne Unit), i realitza una anàlisi de deformació elastoplàstica que incorpora no-linealitat geomètrica i diverses lleis d’enduriment. La Figura 9.1.4 mostra el model d’anàlisi.

Fig. 9.1.4 Model d’anàlisi de deformació elastoplàstica

(1) Condicions de verificació

(2) Condicions de contorn

Tots els nodes que no figuren aquí estan completament restringits. La solució teòrica d’aquest problema és la següent.

En comparació, els resultats del càlcul són els següents.

Anàlisi de contacte (1)¶

Aquest problema de verificació es basa en el problema de prova de contacte CGS-4 de la National Agency for Finite Element Methods and Standards (Regne Unit), i comprova la capacitat de contacte amb lliscament finit i fricció. La Figura 9.1.5 mostra el model d’anàlisi.

Fig. 9.1.5 Model d’anàlisi de contacte

La condició d’equilibri d’aquest problema és la següent.

En l’etapa de fricció adherent, la força de fricció és [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] i en l’etapa de fricció amb lliscament, és [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] .

La comparació entre els resultats del càlcul i la solució analítica és la següent.

Anàlisi de contacte (2): problema de contacte de Hertz¶

Aquesta verificació analitza el problema de contacte de Hertz entre un cilindre infinitament llarg i un pla infinit. El radi del cilindre és R=8mm, i el mòdul de Young E i el coeficient de Poisson µ del cos deformable són 1100Mpa i 0.0, respectivament. Se suposa que l’àrea de contacte és prou petita en comparació amb el radi del cilindre i, tenint en compte la simetria del problema, s’analitza un model d’un quart de cilindre.

Fig. 9.1.6 Model d’anàlisi del problema de contacte de Hertz

(1) Resultats de verificació del radi de contacte¶

La fórmula teòrica per calcular el radi de contacte és la següent:

on [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] . Amb les condicions de càlcul actuals, quan la pressió és \(F=100\), el radi de contacte és \(a=1.36\).

La Figura 9.1.7 mostra les forces nodals equivalents als punts de contacte. El radi de contacte s’obté extrapolant aquesta distribució de forces nodals.

Fig. 9.1.7 Distribució de forces nodals equivalents als punts de contacte

(2) Resultats de verificació de la tensió de cisallament màxima¶

En la solució teòrica, a la posició de contacte [ z = 0.78a ] la tensió de cisallament màxima és [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] . Amb les condicions de càlcul actuals, [ \tau_{\max} = 14.2 ] . En comparació, el càlcul dona [ \tau_{\max} = 15.6 ] .

Fig. 9.1.8 Distribució de la tensió de cisallament (valor màxim = 15.6)

(3) Anàlisi modal¶

Els models de verificació dels casos exJ i exK són idèntics als models dels casos exA a exG. La Figura 9.1.9 mostra un esquema del model de verificació. En aquest model es realitza una anàlisi modal. Es calculen els valors propis del primer al tercer. El cas exJ utilitza un solucionador iteratiu, mentre que el cas exK utilitza un solucionador directe. Els resultats de verificació es mostren a les Taules 9.1.9 a 9.1.12.

Fig. 9.1.9 Model de verificació

Les freqüències naturals de la biga en voladís s’obtenen amb les equacions següents.

Primer mode [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Segon mode [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Tercer mode [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

Els valors de les propietats del model de verificació són

Per tant, els valors propis fins al tercer mode són els següents:

Nota: En els models tridimensionals (3D), els valors principal i secundari tenen arrels iguals. Per tant, el valor secundari de la taula representa el valor terciari del càlcul.

Nota: En els models 3D, els valors principal i secundari tenen arrels iguals. Per tant, el valor secundari de la taula representa el valor terciari del càlcul.

(4) Anàlisi de conducció de calor¶

Les condicions comunes de les anàlisis de conducció de calor en règim estacionari es mostren a la Figura 9.1.10. Les condicions individuals dels casos de verificació exM a exT es mostren a la Figura 9.1.11. La divisió de la malla és equivalent a la utilitzada per a exA.

Els resultats de verificació (taula de distribució de temperatures) de cada cas es presenten a les Taules 9.1.13–9.1.20.

Dependència de la conductivitat tèrmica amb la temperatura

exM: Material lineal
exN: Problema de temperatura prescrita
exO: Problema de flux de calor concentrat
exP: Problema de flux de calor distribuït
exQ: Problema de transferència de calor per convecció
exR: Problema de transferència de calor per radiació
exS: Problema de generació volumètrica de calor
exT: Problema de buit intern

(5) Anàlisi dinàmica lineal¶

A exW es realitza una anàlisi dinàmica lineal sobre la mateixa biga en voladís que a l’apartat (1). La Figura 9.1.12 mostra les condicions de verificació. Per a la mateixa divisió de malla, es verifica l’efecte de l’increment de temps sobre els resultats. S’utilitzen tant mètodes d’integració temporal implícits com explícits, amb els tipus d’element 361 i 342. Els resultats de verificació es mostren a la Taula 9.1.22 i a les Figures 9.1.13 a 9.1.15.

La solució teòrica del desplaçament del punt de vibració és la següent:

on

Condicions de verificació:

Anàlisi de resposta en freqüència¶

En aquesta verificació es realitza una anàlisi de resposta en freqüència sobre una biga en voladís i es valida mitjançant la comparació amb els resultats d’un solucionador comercial d’ús general. El model d’anàlisi i les condicions de verificació es mostren a continuació.

Condicions d’anàlisi:

Els valors propis fins al cinquè ordre i la resposta en freqüència dels punts de vibració obtinguda de l’anàlisi modal són els següents: