Salta el contingut

Tractament de les condicions de contorn geomètriques

El Mètode de Newton-Raphson resol l’equació lineal \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) a cada iteració, però les condicions de contorn geomètriques (restriccions de desplaçament) encara no s’han incorporat a aquesta equació. Aquest capítol mostra com modificar la matriu de rigidesa \(\boldsymbol{K}\) i el vector residual \(\boldsymbol{R}\) per als graus de llibertat als quals s’apliquen restriccions de desplaçament \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\), de manera que el desplaçament després de la iteració assoleixi el valor prescrit. Les restriccions multipunt (MPC) i les restriccions no lineals associades al contacte es tracten per separat; vegeu Restriccions multipunt i Contacte.

Política de mantenir les restriccions de desplaçament com a variables desconegudes

El desplaçament d’un node sotmès a una condició de contorn geomètrica ja no és una variable desconeguda, sinó que queda fixat al valor prescrit \(\bar{u}_i\). Aquests graus de llibertat es podrien tractar com a constants i eliminar de l’equació lineal \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\); tanmateix, FrontISTR imposa les restriccions modificant \(\boldsymbol{K}\) i \(\boldsymbol{R}\) mentre manté els graus de llibertat restringits en el vector de correcció \(d\boldsymbol{u}\) de la mateixa manera que els altres graus de llibertat.

Amb aquest enfocament, les dimensions de la matriu de coeficients i l’ordenació dels graus de llibertat no canvien segons si hi ha restriccions, de manera que no cal eliminar variables ni tornar a compactar les files i columnes alliberades. Com que aquesta recomposició és feixuga en una implementació que emmagatzema la matriu de coeficients en forma de matriu dispersa, FrontISTR adopta aquest segon enfocament, en què les restriccions s’imposen únicament actualitzant la matriu de coeficients i el membre dret.

Valor objectiu de les correccions de Newton-Raphson

Per a un grau de llibertat \(i\) amb desplaçament restringit, sigui la correcció \(du_i\) obtinguda en la iteració de Newton-Raphson

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1a iteració}) \\ 0 & (\text{2a iteració i següents}) \end{cases} \]

Modifiqueu \(\boldsymbol{K}\) i \(\boldsymbol{R}\) perquè la correcció prengui aquest valor. Això fa que l’increment de desplaçament assoleixi el valor prescrit \(\bar{u}_i\) en la primera iteració; a partir de la segona iteració, la correcció passa a ser \(0\) i es manté el valor prescrit.

Procediment per modificar la matriu i el vector residual

El valor objectiu descrit a la secció anterior s’aconsegueix mitjançant les dues modificacions següents, mantenint la forma de l’equació lineal \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\).

  1. Diagonalització de la fila \(i\): Substituïu el terme diagonal \(K_{ii}\), coeficient de \(du_i\), per \(1\), substituïu tots els altres coeficients \(K_{ij}\ (j \not= i)\) per \(0\) i establiu el membre dret a \(R_i \to d\bar{u}_i\). L’equació de la fila \(i\) passa aleshores a ser \(du_i = d\bar{u}_i\).
  2. Trasllat des de les files \(j(\not= i)\): Per a cada fila \(j(\not= i)\), si \(K_{ji} \not= 0\), traslladeu el terme \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) al membre dret. És a dir, resteu \(K_{ji} d\bar{u}_i\) del membre dret i establiu a \(0\) el coeficient \(K_{ji}\) de \(du_i\).

En forma de components, les equacions abans i després de la modificació corresponen de la manera següent.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]
\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Denotem la matriu de coeficients i el membre dret modificats per \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\), respectivament. L’equació lineal que finalment s’ha de resoldre és

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Si hi ha diversos graus de llibertat restringits, les modificacions 1 i 2 anteriors s’apliquen successivament a cada grau de llibertat restringit \(i\).

Abast del processament en la implementació amb matriu dispersa

En la implementació, la matriu de coeficients \(\boldsymbol{K}\) s’emmagatzema en forma de matriu dispersa. Per tant, el processament de les files \(j(\not= i)\) del procediment 2 de la secció anterior només es realitza per a les files que tenen entrades no nul·les a la columna \(i\), és a dir, per als graus de llibertat dels nodes connectats mitjançant elements al grau de llibertat restringit \(i\). Per als graus de llibertat no connectats, \(K_{ji} = 0\), de manera que traslladar el terme no modifica el membre dret. Aquesta restricció permet completar el processament de les restriccions utilitzant només operacions locals respecte del nombre total de nodes.

Temes relacionats

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status