Salta el contingut

Anàlisi transitòria de conducció de calor

Aquesta secció presenta la discretització temporal i el mètode de solució iterativa per a l'anàlisi de conducció de calor de sòlids mitjançant el mètode dels elements finits (MEF). Per a les equacions governants i les condicions de contorn del continu, consulteu Equació de conducció de calor.

Equació discretitzada (punt de partida)

La discretització de l'equació de conducció de calor (equació de conducció de calor (gov_he_main)) mitjançant el mètode de Galerkin dona

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

on

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Aquí, \(K\), \(M\), \(F\) i \(N\) són, respectivament, la matriu de conducció de calor (incloent-hi les contribucions de les condicions de contorn convectives i radiatives), la matriu de massa, el vector de càrrega tèrmica i la matriu de funcions de forma. Les definicions dels símbols de propietats del material (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\), etc.) segueixen Equació de conducció de calor.

Discretització temporal i solució iterativa

L'equació \(\eqref{eq:2.4.8}\) és una equació no lineal i transitòria. Utilitzant el mètode d'Euler regressiu per a la discretització temporal, quan es coneix la temperatura en el temps \(t=t_0\), la temperatura en el temps \(t=t_0+\Delta t\) es calcula amb l'equació següent.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Considerem millorar el vector de temperatures \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), que satisfà aproximadament l'eq. \(\eqref{eq:2.4.13}\), per obtenir la solució més precisa \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

Per a això, primer expressem el vector de temperatures de la manera següent.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

El producte de la matriu de conducció de calor pel vector de temperatures, la matriu de massa i els termes relacionats s'aproximen de la manera següent.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Substituint l'eq. \(\eqref{eq:2.4.14}\), l'eq. \(\eqref{eq:2.4.15}\) i l'eq. \(\eqref{eq:2.4.16}\) a l'eq. \(\eqref{eq:2.4.13}\) i ometent els termes de segon ordre i superiors, s'obté l'equació següent.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

La matriu de coeficients del membre esquerre s'aproxima encara més mitjançant l'equació següent.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Aquí, \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) és la matriu de rigidesa tangent.

Finalment, la temperatura en el temps \(t=t_0+\Delta t\) es pot calcular fent càlculs iteratius amb l'equació següent.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

En particular, per a l'anàlisi estacionària, els càlculs iteratius es fan amb l'equació següent.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

En l'anàlisi transitòria, com que s'utilitza un mètode implícit per a la discretització temporal, l'elecció de l'increment de temps \(\Delta t\) generalment no està sotmesa a una restricció sobre la seva magnitud. Tanmateix, si l'increment de temps \(\Delta t\) és massa gran, augmenta el nombre d'iteracions necessàries per a la convergència. En general, un increment de temps \(\Delta t\) excessivament gran augmenta el nombre d'iteracions. En la implementació, el control automàtic d'increments supervisa la magnitud del vector residual, redueix \(\Delta t\) quan la convergència és lenta i augmenta \(\Delta t\) quan el nombre d'iteracions és petit (→ consulteu Control dels passos per obtenir-ne detalls).

Temes relacionats

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status