Anàlisi de resposta en freqüència¶

Formulació del problema¶

L’anàlisi de resposta en freqüència avalua l’amplitud i la fase de la resposta en règim estacionari d’un sistema en el domini de la freqüència quan la força externa varia harmònicament amb el temps. Com que l’equació governant del moviment es tracta de manera diferent amb amortiment i sense, aquest capítol deriva primer els modes propis a partir de la vibració lliure sense amortiment i després els utilitza com a base modal per expandir la resposta harmònica amortida.

Vibració lliure sense amortiment i modes propis¶

Quan es negligeix l’amortiment, l’equació del moviment és

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

L’expansió del desplaçament en cada mode propi dona

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Substituint-ho a l’eq.\(\eqref{eq:2.6.1}\) s’obté

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Aquest és un problema generalitzat de valors propis. Els mètodes de solució numèrica, inclosos la iteració inversa amb desplaçament i el mètode de Lanczos, es tracten a Anàlisi modal. Aquesta secció resumeix les propietats de les freqüències naturals i dels modes propis resultants que s’utilitzen en l’expansió posterior de la resposta harmònica.

Caràcter real de les freqüències naturals¶

Es pot demostrar que la freqüència natural és real de la manera següent. Sigui \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Prenent el conjugat complex de l’eq.\(\eqref{eq:2.6.3}\) s’obté l’eq.\(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Multiplicant per \(\overline{U}_J^T\) s’obté

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

De l’eq.\(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Com que la matriu de massa és simètrica definida positiva, per a un vector propi no nul tenim

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Per tant,

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Així, \(\omega_j^2 = \lambda_j\) és real.

Ortogonalitat i normalització dels modes propis¶

Considereu dos modes diferents.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Se’n dedueix que

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

i, quan els valors propis són diferents,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Així, els diferents modes propis són ortogonals respecte de la matriu de massa. Per al mateix mode, normalitzar respecte de la matriu de massa com a l’eq.\(\eqref{eq:2.6.12}\) simplifica el tractament posterior.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Resposta harmònica amb amortiment¶

A continuació es presenta la formulació de l’anàlisi de resposta en freqüència amb amortiment. L’equació governant del moviment ve donada per l’eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Se suposa que el terme d’amortiment és de tipus Rayleigh i s’expressa com a l’eq.\(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

Mitjançant els vectors propis obtinguts de l’anàlisi modal, el vector de desplaçament en l’instant t es pot expandir com a l’eq.\(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Suposeu que el terme de força externa té la forma harmònica

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

Aleshores determinem \(b_{j}(t)\). Com que l’equació del moviment de l’eq.\(\eqref{eq:2.6.13}\) té la forma d’una vibració forçada,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

es compleix. Les parts real i imaginària del coeficient d’expansió \(b_{j}(t)\) venen donades, respectivament, per les eqs.\(\eqref{eq:2.6.18}i\) i \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Això dona els coeficients de resposta harmònica desitjats.

Temes relacionats¶

Anàlisi modal — Formulació del problema de valors propis subjacent
Mètodes d’anàlisi dinàmica — Anàlisi dinàmica en el domini temporal
Tipus d’anàlisi — Visió funcional de l’anàlisi de resposta en freqüència