Anàlisi modal - FrontISTR Multilingual Documentation

Problema generalitzat de valors propis¶

Per a l’anàlisi de vibració lliure d’un medi continu, el domini es discretitza espacialment i es modela com un sistema de masses concentrades amb múltiples graus de llibertat, tal com es mostra a la figura 2.3.1. Per a un problema de vibració lliure no amortida, l’equació governant (equació del moviment) és la següent.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Aquí, $u$ és el vector de desplaçament generalitzat, $M$ és la matriu de massa i $K$ és la matriu de rigidesa. Sigui $\omega$ la freqüència angular natural, siguin $a$, $b$ i $c$ constants arbitràries i sigui $x$ un vector. Definim la funció

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

La segona derivada d’aquesta expressió és

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Substituint aquestes expressions a l’equació $\eqref{eq:2.3.1}$, s’obté

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

És a dir,

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

s’obté.

Així, si l’equació $\eqref{eq:2.3.5}$ se satisfà amb el coeficient $\lambda = \omega^2$ i es pot trobar el vector $x$, la funció $u(t)$ és una solució de l’equació $\eqref{eq:2.3.1}$.

El coeficient $\lambda$ s’anomena valor propi i el vector $x$, vector propi. El problema de determinar-los a partir de l’equació $\eqref{eq:2.3.1}$ s’anomena problema generalitzat de valors propis.

Exemple d’un sistema amb múltiples graus de llibertat en vibració lliure no amortida

Figura 2.3.1 Exemple d’un sistema amb múltiples graus de llibertat en vibració lliure no amortida

Propietats i hipòtesis de les matrius¶

Per al problema generalitzat de valors propis $K x = \lambda M x$ obtingut a la secció anterior, aquest manual assumeix les propietats matricials següents. Aquestes hipòtesis són la base de la convergència i del rang d’aplicabilitat dels mètodes d’iteració inversa amb desplaçament i de Lanczos descrits a continuació. Per a una matriu complexa, la transposada és la conjugada complexa, mentre que una matriu real és simètrica. Concretament, per a la matriu $K$, si el seu component $ij$ és $k_{ij}$ i el conjugat complex de $k$ es denota per $\bar{k}$, aleshores

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

es compleix la relació següent.

En aquest manual s’assumeix que les matrius són simètriques i definides positives. Definida positiva significa que tots els valors propis són positius; equivalentment, la matriu sempre satisfà l’equació $\eqref{eq:2.3.7}$ següent.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Iteració inversa amb desplaçament¶

En l’anàlisi estructural per elements finits, a la pràctica generalment no calen tots els valors propis; en molts casos n’hi ha prou amb uns quants valors propis d’ordre baix. HEC-MW està destinat a problemes de gran escala, en els quals les matrius són grans i molt disperses (contenen moltes entrades nul·les). Per tant, és important calcular eficientment els valors propis dels modes d’ordre baix tenint en compte aquesta propietat.

Sigui $\sigma$ el límit inferior dels valors propis. L’equació $\eqref{eq:2.3.5}$ es pot transformar en la forma matemàticament equivalent següent.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Aquesta transformació té les propietats següents, útils per al càlcul.

L’ordre dels modes s’inverteix.
Els valors propis propers a $\rho$ es transformen en els valors més grans.

En el càlcul real, sovint s’obtenen primer els valors propis més grans. Per tant, en lloc de l’equació $\eqref{eq:2.3.5}$, el càlcul principal de convergència s’aplica a l’equació $\eqref{eq:2.3.8}$, amb l’objectiu d’obtenir primer els valors propis propers a $\rho$. Aquesta tècnica s’anomena iteració inversa amb desplaçament.

Mètode de Lanczos¶

Justificació de l’ús (comparació amb el mètode de Jacobi)¶

Entre els mètodes clàssics, el mètode de Jacobi és ben conegut.

Aquest mètode és eficaç quan la matriu és petita i densa. Tanmateix, com que les matrius que tracta HEC-MW són grans i disperses, no s’utilitza el mètode de Jacobi; en el seu lloc s’empra el mètode iteratiu de Lanczos.

Algorisme i característiques¶

Proposat per C. Lanczos a la dècada de 1950, aquest mètode és un algorisme per reduir una matriu a forma tridiagonal i presenta les característiques següents.

És un mètode iteratiu convergent i pot avançar mantenint la matriu dispersa.
L’algorisme consisteix principalment en productes matriu-vector i és molt adequat per a la paral·lelització.
És molt adequat per a la descomposició geomètrica de dominis associada a malles d’elements finits.
Es pot obtenir un càlcul eficient limitant el nombre de valors propis i el rang de modes que s’han d’obtenir.

El mètode de Lanczos parteix d’un vector inicial, genera successivament vectors ortogonals i construeix una base per a un subespai. Es considera més ràpid que el mètode del subespai, un altre mètode iteratiu, i s’utilitza àmpliament en programes d’elements finits. Tanmateix, aquest mètode és sensible als errors numèrics, que poden destruir l’ortogonalitat dels vectors i provocar que el càlcul falli. Per tant, són essencials les mesures contra aquests errors numèrics.

Interpretació geomètrica (subespai de Krylov)¶

Introduint el canvi de variables següent a l’equació $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

el problema es pot reescriure com

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

s’obté.

Per a un vector adequat $q_0$, s’aplica la transformació lineal representada per la matriu $A$ (vegeu la figura 2.3.2).

$Transformació lineal de $q_0$ mitjançant la matriu $A$$

Figura 2.3.2 Transformació lineal de $q_0$ mitjançant la matriu $A$

El vector transformat s’ortogonalitza dins l’espai generat conjuntament amb el vector original. És a dir, es realitza l’ortogonalització de Gram-Schmidt tal com s’il·lustra a la figura 2.3.2. Sigui $r_1$ el vector resultant. Es normalitza a longitud unitària per obtenir $q_1$ (figura 2.3.3). A partir de $q_1$, s’obté $q_2$ amb el mateix procediment. En aquest punt, $q_2$ és ortogonal tant a $q_1$ com a $q_0$ (figura 2.3.4). Continuant el mateix càlcul s’obtenen vectors mútuament ortogonals fins a l’ordre de la matriu.

$Un vector ortogonal a $q_0$: $q_1$$

Figura 2.3.3 Un vector ortogonal a $q_0$: $q_1$

$Un vector ortogonal a $q_1$ i $q_0$: $q_2$$

Figura 2.3.4 Un vector ortogonal a $q_1$ i $q_0$: $q_2$

En particular, l’algorisme de Lanczos s’aplica a la seqüència de vectors $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

o, equivalentment, $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$

mitjançant l’ortogonalització de Gram-Schmidt. Aquesta seqüència de vectors s’anomena seqüència de Krylov, i l’espai que genera s’anomena subespai de Krylov. Quan es realitza l’ortogonalització de Gram-Schmidt en aquest espai, cada vector nou es pot obtenir utilitzant els dos vectors més recents. Això s’anomena principi de Lanczos.

Tridiagonalització¶

En la iteració anterior, el càlcul del vector (i+1)-è es pot escriure com

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

Amb notació matricial, això esdevé

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Així, els valors propis s’obtenen resolent el problema de valors propis de la matriu tridiagonal obtinguda a partir de l’equació $\eqref{eq:2.3.13}$.

Temes relacionats¶

Anàlisi de resposta en freqüència — Resposta en freqüència utilitzant els resultats de l’anàlisi modal
Tipus d’anàlisi — Visió funcional de l’anàlisi modal