Salta el contingut

Mètodes d’anàlisi dinàmica

Aquesta secció presenta el mètode d’anàlisi de problemes dinàmics mitjançant integració temporal directa. A continuació es formulen els mètodes implícit i explícit.

Discretització de l’equació del moviment (marc comú)

TBD (es redactarà en una fase posterior).

Mètode implícit (mètode de Newmark-β)

Per als problemes dinàmics, s’aplica la integració temporal directa a l’equació del moviment mostrada a continuació.

\[\begin{equation} M( t + \Delta t ) \ddot{U} (t + \Delta t) + C( t + \Delta t ) \dot{U}(t + \Delta t) + Q( t + \Delta t ) = F( t + \Delta t ) \label{eq:2.5.1} \end{equation}\]

Aquí, \(M\) és la matriu de massa, \(C\) la matriu d’amortiment, \(Q\) el vector de forces internes i \(F\) el vector de forces externes. La matriu de massa es considera constant i independent de la deformació, fins i tot en anàlisi no lineal.

Els canvis de desplaçament, velocitat i acceleració dins de l’increment de temps \(\Delta t\) s’aproximen mitjançant el mètode de Newmark-\(\beta\), tal com mostren les equacions \(\eqref{eq:2.5.2}\) i \(\eqref{eq:2.5.3}\).

\[\begin{equation} \dot{U}(t + \Delta t) = \frac{\gamma}{\beta \Delta t} \Delta U( t + \Delta t ) - \frac{\gamma - \beta}{\beta} \dot{U}( t ) - \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2\beta} \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}(t + \Delta t) = \frac{1}{\beta \Delta t^2}\Delta U(t + \Delta t) - \frac{1}{\beta \Delta t} \dot{U}(t) - \frac{1 - 2\beta}{2\beta} \ddot {U}(t) \label{eq:2.5.3} \end{equation}\]

Aquí, \(\gamma\) i \(\beta\) són els paràmetres del mètode de Newmark-\(\beta\).

Com és ben conegut, els valors següents de \(\gamma\) i \(\beta\) corresponen al mètode d’acceleració lineal o a la regla trapezoïdal.

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{6}\) (mètode d’acceleració lineal)

\(\gamma = \displaystyle \frac{1}{2}\), \(\beta = \displaystyle \frac{1}{4}\) (regla trapezoïdal)

Substituint les equacions \(\eqref{eq:2.5.2}\) i \(\eqref{eq:2.5.3}\) a \(\eqref{eq:2.5.1}\), s’obté l’equació següent.

\[\begin{align} \nonumber \left( \frac{1}{\beta \Delta t^2} \mathbf{M} + \frac{\gamma}{\beta \Delta t} C + K \right) \Delta U ( t + \Delta t ) &= F ( t + \Delta t ) - Q ( t + \Delta t ) \\\ \nonumber &+ \frac{1}{\beta \Delta t} M \dot{U} ( t ) + \frac{1 - 2\beta}{2\beta} M \ddot{U} ( t ) \\\ &+ \frac{\gamma - \beta}{\beta} C \dot{U} (t) + \Delta t \frac{\gamma - 2\beta}{2 \beta} C \ddot{U}(t) \label{eq:2.5.4} \end{align}\]

En particular, per a un problema lineal, si \(K_L\) és la matriu de rigidesa lineal, \(Q ( t + \Delta t ) = K_L U (t + \Delta t)\). Substituint-ho a l’equació anterior s’obté

\[\begin{align} \nonumber M \left\lbrace -\frac{1}{\beta \Delta t^2} U(t) -\frac{1}{\beta \Delta t}\dot U(t) - \frac{2\beta}{1-2\beta} \ddot U(t) \right\rbrace &+ C\left\lbrace - \frac{\gamma}{\beta \Delta t} U(t) + \left(1 - \frac{\gamma}{\beta}\right) \dot U(t) + \Delta{t}\frac{ 2\beta-\gamma}{2\beta}\ddot U(t)\right\rbrace \\\ & + \frac{1}{\beta \Delta{t}^2} M + \frac{\gamma}{\beta \Delta{t}} C + K_L U(t+\Delta{t}) = F(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.5} \end{align}\]

Als punts on l’acceleració està prescrita com a condició de contorn geomètrica, el desplaçament següent s’obté de l’equació \(\eqref{eq:2.5.2}\).

\[\begin{equation} u_{is} (t+\Delta{t}) = u_{is} (t) + \Delta t \dot{u}(t) + \Delta t^2 \left(\frac{1}{2} -\beta \right) {\ddot{u}}_{is} (t + \Delta t) \label{eq:2.5.6} \end{equation}\]

De manera anàloga, als punts on es prescriu la velocitat, el desplaçament següent s’obté de l’equació \(\eqref{eq:2.5.6}\).

\[\begin{equation} u_{is}(t+\Delta{t})= u_{is}(t)+\Delta t \frac{ \gamma - \beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t) +(\Delta{t})^2 \frac{ \gamma - 2\beta}{ 2\gamma} \ddot{u_{is}}(t) +\Delta t \frac{\beta}{ \gamma}\dot{u_{is}}(t+\Delta{t}) \label{eq:2.5.7} \end{equation}\]

on, \(u_{is}(t+\Delta{t})\) és el desplaçament nodal al temps \(t+\Delta{t}\), \(\dot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) és la velocitat nodal al temps \(t+\Delta{t}\), \(\ddot{u_{is}}(t+\Delta{t})\) és l’acceleració nodal al temps \(t+\Delta{t}\), \(i\) és el número del grau de llibertat nodal i \(s\) és el número del node. Els termes de massa i amortiment es tracten de la manera següent.

Tractament del terme de massa

En principi, la matriu de massa es tracta com una matriu de massa concentrada.

Tractament del terme d’amortiment

El terme d’amortiment es tracta com a amortiment de Rayleigh, expressat per l’equació \(\eqref{eq:2.5.8}\).

\[\begin{equation} C = R_m M + R_k K_L \label{eq:2.5.8} \end{equation}\]

Aquí, \(R_m\) i \(R_k\) són els paràmetres de l’amortiment de Rayleigh.

Els valors \(R_m\) i \(R_k\) especificats a la targeta !DYNAMIC s’apliquen uniformement a tot el model. Per assignar valors diferents de \(R_m\) i \(R_k\) per material, especifiqueu la targeta !DAMPING dins del bloc !MATERIAL corresponent. Per als elements d’un material amb !DAMPING, la matriu d’amortiment elemental es calcula com \(C_i = R_m M_i + R_k K_i\) a partir de la matriu de massa \(M_i\) i la matriu de rigidesa tangent \(K_i\), i s’assembla a la matriu global d’amortiment. Aquesta funció només és vàlida amb el mètode implícit.

Mètode explícit (mètode de diferències centrals)

El mètode explícit parteix de l’equació del moviment al temps t que es mostra a continuació.

\[\begin{equation} M \ddot{U}(t) + C (t) \dot{U}(t) + Q(t) = F(t) \label{eq:2.5.9} \end{equation}\]

Expressant els desplaçaments als temps \(t + \Delta t\) i \(t - \Delta t\) mitjançant expansions de Taylor al voltant del temps \(t\) i conservant fins als termes de segon ordre en \(\Delta t\), s’obté

\[\begin{equation} U(t+\Delta{t}) = U(t)+\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} U(t-\Delta{t})=U(t)-\dot{U}(t)(\Delta{t}) +\frac{1}{2!}\ddot{U}(\Delta{t})^2 \label{eq:2.5.11} \end{equation}\]

De la diferència i la suma de les equacions \(\eqref{eq:2.5.3}\) i \(\eqref{eq:2.5.4}\) s’obtenen les expressions següents.

\[\begin{equation} \dot{U}(t)=\frac{1}{2\Delta{t}} (U(t+\Delta{t})-U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.12} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \ddot{U}= \frac{1}{(2\Delta{t})^2} (U(t+\Delta{t})-2U(t)+U(t-\Delta{t})) \label{eq:2.5.13} \end{equation}\]

Substituint les equacions \(\eqref{eq:2.5.12}\) i \(\eqref{eq:2.5.13}\) a \(\eqref{eq:2.5.9}\), s’obté

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U ( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} 2 U(t) - U( t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \label{eq:2.5.14} \end{equation}\]

En particular, per a un problema lineal, \(Q(t) = K_L U(t)\), i l’equació anterior esdevé

\[\begin{equation} \left( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C \right) U( t + \Delta t ) \\\ = F(t) - K_L U(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U (t - \Delta t) \label{eq:2.5.15} \end{equation}\]

Si la matriu de massa \(M\) es pren com una matriu de massa concentrada i la matriu d’amortiment com una matriu d’amortiment proporcional \(C = R_m M\), l’equació \(\eqref{eq:2.5.15}\) no requereix resoldre un sistema d’equacions simultànies.

Per tant, a partir de l’equació \(\eqref{eq:2.5.15}\), \(U(t+\Delta t)\) es pot obtenir amb l’expressió següent.

\[\begin{equation} U( t + \Delta t ) \\\ = \frac{1}{( \frac{1}{\Delta t^{2}} M + \frac{1}{2\Delta t} C )} \{ F(t) - Q(t) - \frac{1}{\Delta t^{2}} M U(t) - U(t - \Delta t) - \frac{1}{2\Delta t} C U(t - \Delta t) \} \label{eq:2.5.17} \end{equation}\]

Elements relacionats

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status