Salta el contingut

Llista de símbols de magnituds físiques

Aquesta pàgina enumera els símbols de les magnituds físiques utilitzats al manual teòric de FrontISTR. Per a les convencions de notació (negreta per a vectors i tensors, conveni de sumació d’Einstein i notació de Voigt), vegeu Notació tensorial i fonaments matemàtics.

Configuracions i sistemes de coordenades

Símbol Descripció
\(\boldsymbol{X}\) Vector de posició d’un punt material en la configuració de referència (inicial) (coordenades materials)
\(\boldsymbol{x}\) Vector de posició d’un punt material en la configuració actual (coordenades espacials)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Aplicació del moviment: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Domini ocupat pel cos en la configuració de referència
\(\Omega\) Domini ocupat pel cos en la configuració actual
\(\Gamma_0\) Frontera de \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Frontera de \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Frontera geomètrica (de desplaçament): frontera en la configuració actual/de referència on \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) es prescriu
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Frontera mecànica: frontera en la configuració actual/de referència on \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (o \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\)) es prescriu
\(\boldsymbol{n}\) Vector normal unitari exterior a una superfície en la configuració actual
\(\boldsymbol{N}\) Vector normal unitari exterior a una superfície en la configuració de referència
\(t\) Temps

Conveni: Les magnituds físiques en la configuració de referència es denoten amb lletres majúscules o amb un subíndex \(0\), mentre que les magnituds en la configuració actual es denoten amb lletres minúscules.

Temps i increments (anàlisi incremental)

Símbol Descripció
\(\Delta t\) Increment de temps: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Magnitud física en el temps \(t\) (superíndex esquerre). Exemple: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) és la tensió de Cauchy en el temps \(t\)
\(^{t}\Omega\) Domini de la configuració actual en el temps \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Frontera de la configuració actual en el temps \(t\)

Conveni: En l’anàlisi incremental, l’estat fins al temps \(t\) es considera conegut i l’estat en el temps \(t + \Delta t\) es resol com a desconegut. El superíndex esquerre s’omet quan no cal indicar explícitament el temps. Una formulació que utilitza la configuració de referència \(\Omega_0\) com a referència s’anomena formulació de Lagrange total, mentre que una formulació que utilitza com a referència la configuració actual \(^{t}\Omega\) a l’inici de l’increment s’anomena formulació de Lagrange actualitzat.

Desplaçament, velocitat, acceleració i força volumètrica

Símbol Descripció
\(\boldsymbol{u}\) Vector de desplaçament: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Desplaçament prescrit a la frontera geomètrica \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Desplaçament virtual (funció de prova): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) on \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Vector de velocitat: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Vector d’acceleració: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Força volumètrica (per unitat de massa)
\(\boldsymbol{t}\) Vector de tracció (per unitat d’àrea): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Tracció prescrita a la frontera mecànica \(\Gamma_t\) (dades de Neumann)

Operadors diferencials

Símbol Descripció
\(\dot{(\cdot)}\) Derivada material respecte del temps (derivada temporal seguint el mateix punt material): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Gradient en la configuració de referència (gradient respecte de les coordenades materials \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Gradient en la configuració actual (gradient respecte de les coordenades espacials \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Operador de gradient simètric: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Nota: \(\nabla_X\) i \(\nabla_x\) estan relacionats per \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). S’utilitza un gradient sense subíndex, \(\nabla\), quan la configuració és clara pel context o quan la distinció desapareix, com en problemes de petites deformacions.

Tensors de deformació

Símbol Descripció
\(\boldsymbol{F}\) Tensor gradient de deformació: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Relació de volums: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Tensor de deformació de Cauchy-Green dret: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Tensor de deformació de Cauchy-Green esquerre: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Tensor gradient de velocitat: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Tensor de velocitat de deformació (part simètrica de \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Tensor de rotació (part antisimètrica de \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Tensors de deformació unitària

Símbol Descripció
\(\boldsymbol{E}\) Tensor de deformació de Green-Lagrange (configuració de referència): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Tensor de deformació d’Almansi (configuració actual): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Part lineal del tensor de deformació d’Almansi (gradient simètric del desplaçament en la configuració actual): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Tensor de deformació infinitesimal (aproximació lineal): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Nota: \(\boldsymbol{E}\) s’utilitza principalment en la formulació de Lagrange total, mentre que \(\boldsymbol{D}\) s’utilitza principalment en la formulació de Lagrange actualitzat.

Tensors de tensió

Símbol Descripció
\(\boldsymbol{\sigma}\) Tensor de tensió de Cauchy (tensió real, configuració actual): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Primer tensor de tensió de Piola-Kirchhoff (tensió nominal): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Segon tensor de tensió de Piola-Kirchhoff (configuració de referència, simètric): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Relacions de conversió entre els tensors de tensió:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Conveni: La formulació de Lagrange total utilitza el parell \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), mentre que la formulació de Lagrange actualitzat utilitza el parell \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Densitat i massa

Símbol Descripció
\(\rho\) Densitat de massa en la configuració actual
\(\rho_0\) Densitat de massa en la configuració de referència

Conservació de la massa: \(\rho_0 = J\rho\).

Constants del material (elasticitat lineal)

Símbol Descripció
\(E\) Mòdul de Young
\(\nu\) Coeficient de Poisson
\(\lambda\) Primera constant de Lamé: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Segona constant de Lamé (mòdul de cisallament): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Tensor d’elasticitat (quart ordre): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), components \(C_{ijkl}\)
\(D\) (o \(\hat{\tilde{C}}\)) Matriu de material (notació de Voigt, \(6\times6\) en 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Components del tensor d’elasticitat per a un material elàstic lineal isòtrop:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Materials hiperelàstics

Símbol Descripció
\(W(\boldsymbol{C})\) Funció de potencial elàstic (funció de densitat d’energia de deformació)
\(I_1, I_2, I_3\) Invariants principals del tensor de Cauchy-Green dret \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Invariants reduïts de \(\boldsymbol{C}\) (canvi volumètric separat)
\(C_1, C_2\) Constants del material del model de Mooney-Rivlin
\(D\) Constant del material relacionada amb l’elasticitat volumètrica

Materials elastoplàstics

Símbol Descripció
\(\boldsymbol{D}^e\) Component elàstic del tensor de velocitat de deformació
\(\boldsymbol{D}^p\) Component plàstic del tensor de velocitat de deformació
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Funció de fluència
\(\kappa\) Variable interna que representa l’estat plàstic (variable d’enduriment isòtrop)
\(\lambda^p\) Multiplicador plàstic (multiplicador de la velocitat de deformació plàstica): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Potencial plàstic (\(\Theta = F\) per a una regla de flux associada)
\(\bar{\sigma}\) Tensió equivalent (p. ex., tensió de von Mises)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Deformació plàstica equivalent
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Funció d’enduriment isòtrop

Condició de complementarietat: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Mètode dels elements finits

Símbol Descripció
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Dominis en les configuracions actual i de referència aproximats mitjançant discretització per elements finits: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Domini de l’element en les configuracions actual i de referència
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Part de la frontera de l’element que pertany a la frontera mecànica
\(\boldsymbol{r}\) Coordenades naturals (coordenades locals de l’element)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Punt en coordenades naturals corresponent al node \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Funció de forma corresponent al node \(\alpha\) de l’element \(e\)
\(n_e\) Nombre de nodes que constitueixen un element
\(n_g\) Nombre total de nodes globals
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Coordenades i desplaçament del node \(\alpha\) de l’element
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Vectors de coordenades nodals i de desplaçament de l’element: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\), etc.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Vectors globals de coordenades nodals i de desplaçament (ordenats per número de node i després per grau de llibertat)
\(\boldsymbol{B}\) Matriu de relació deformació-desplaçament (matriu B)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Matriu de funcions de forma: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) és un \(d \times d\) bloc amb la funció de forma \(N_\alpha^e\) per al node \(\alpha\) a la diagonal, i \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Matriu de rigidesa de l’element
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Integrands de la matriu de rigidesa de l’element (expressats en les configuracions de referència i actual): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (formulació TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (formulació UL) Vector de forces internes de l’element
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Força externa nodal que actua sobre el node de l’element \(\alpha\), i vector de forces externes nodals de l’element: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Vector global de forces internes i vector global de forces externes: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); anàlogament per a \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Força interna nodal i força externa nodal al node global \(i_g\) (blocs nodals de \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Matriu global de rigidesa tangent: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Matriu formada col·locant el bloc \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) a la fila \(i_g\), columna \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Vector residual en la iteració de Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Correcció en la iteració de Newton-Raphson (obtinguda resolent l’equació lineal \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) a la iteració \(i\))
\(i_g\) Número global de node (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Número global de node corresponent al número de node local \(\alpha\) de l’element \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Conjunt de \((e, \alpha)\) parelles corresponents al número global de node \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). S’utilitza en operacions d’assemblatge
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Conjunt de \((e, \alpha, \beta)\) tuples corresponents al parell de números globals de node \((i_g, i_h)\); utilitzat per a l’assemblatge de la matriu de rigidesa
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Indices per al nodes constituting an element
\(i, j, k, l, \ldots\) Índexs dels graus de llibertat (\(1, 2, 3\) en 3D)

Elements avançats i elements estructurals

Símbol Descripció
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Matriu de relació deformació-desplaçament amb la part volumètrica modificada pel mètode B-bar (el component volumètric se substitueix per la matriu B avaluada al centre de l’element)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Gradient de deformació amb la part volumètrica modificada pel mètode F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Relació de volums del gradient de deformació avaluat al centre de l’element \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Vector intern de graus de llibertat per a un element de modes incompatibles (coeficients de modes de desplaçament addicionals que no imposen continuïtat a la frontera de l’element)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Funcions de forma per als modes incompatibles: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Gruix de l’element de closca
\(A\) Àrea de la secció transversal d’un element de biga
\(I\) Segon moment d’àrea de la secció transversal d’un element de biga
\(G\) Mòdul de cisallament: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Temes relacionats

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status