Notació tensorial i fonaments matemàtics¶

Aquest capítol agrupa les convencions de notació tensorial, notació d'índexs i notació de Voigt utilitzades als capítols posteriors del Manual teòric de FrontISTR. Aquí només es descriuen regles de notació pures que no depenen de la definició de les magnituds físiques. Les convencions de notació que depenen de la configuració associada al moviment del continu (configuració de referència/actual), com ara la distinció entre majúscules i minúscules i entre derivades materials i espacials, es descriuen a Moviment, deformació i deformació unitària, on s'introdueix el concepte de configuració.

Notació tensorial¶

Notació en negreta per a vectors i tensors¶

Com a convenció tipogràfica, les magnituds escalars i les components de vectors i tensors s'escriuen en lletra normal (com ara \(\rho\) i \(x_i\)), mentre que les magnituds vectorials i tensorials mateixes s'escriuen en negreta (com ara \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) i \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Convenció de sumació d'Einstein¶

Llevat que s'indiqui el contrari, s'aplica la convenció de sumació d'Einstein: quan un mateix índex apareix dues vegades en un mateix terme, se suma respecte d'aquest índex. Per exemple,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

i el producte dels tensors \(\boldsymbol{A}\) i \(\boldsymbol{B}\), \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\), té com a component \(i,j\)

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Com a convenció d'índexs, quan \(i, j, k, l, \ldots\) s'utilitzen com a índexs sense cap indicació addicional, representen índexs associats als graus de llibertat (\(1, 2, 3\) en tres dimensions), mentre que les lletres gregues minúscules \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) utilitzades com a índexs representen índexs associats als nodes que constitueixen un element.

Producte intern, transposició i producte tensorial¶

La transposada del tensor \(\boldsymbol{A}\) es denota per \(\boldsymbol{A}^T\). El producte intern (doble contracció) dels tensors de segon ordre \(\boldsymbol{A}\) i \(\boldsymbol{B}\) s'escriu

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

El producte intern dels vectors \(\boldsymbol{a}\) i \(\boldsymbol{b}\) és \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), i el seu producte tensorial és \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Notació de Voigt¶

La tensió i la deformació són tensors simètrics de segon ordre respecte dels graus de llibertat, i els coeficients que representen la relació lineal entre totes dues formen un tensor de quart ordre. Tractar-los directament en un programa és desfavorable tant pel cost computacional com per la codificació (matrius multidimensionals i bucles profundament imbricats). Per això, els programes generals d'elements finits aprofiten la simetria i comprimeixen la tensió i la deformació en vectors columna i el tensor d'elasticitat de quart ordre en una matriu bidimensional. Això s'anomena notació de Voigt.

D'ara endavant, la representació matricial o vectorial d'una magnitud tensorial \(\boldsymbol{A}\) es denota per \(\hat{A}\) per distingir-la del tensor original.

Representació vectorial de la tensió i la deformació¶

Per al tensor simètric de tensions \(\boldsymbol{\sigma}\) i el tensor de deformacions \(\boldsymbol{\varepsilon}\), en dues dimensions,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

i en tres dimensions,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

es tracten com a vectors columna tal com es mostra. La mateixa regla s'aplica a magnituds derivades, com ara variacions i diferencials. Cal tenir present que les components de cisallament del costat de la deformació porten un factor 2 (al costat de la tensió no). Gràcies a aquesta asimetria, el producte intern tensorial es pot escriure de manera compacta com un producte intern vectorial:

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

En la implementació és fàcil confondre el factor 2 de les components de deformació de cisallament, per la qual cosa cal tenir sempre present la convenció «absent per a la tensió / present per a la deformació». La mateixa convenció de Voigt s'aplica exactament a les magnituds de la configuració de referència (la segona tensió de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) i la deformació de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)).

Representació matricial d'un tensor de quart ordre¶

Per a la relació lineal entre tensió i deformació \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (en components, \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), fent servir la simetria de \(\boldsymbol{\varepsilon}\) es pot escriure

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

En tres dimensions, si \(\tilde{C}\) es disposa com la matriu de material 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\), la relació tensorial original es pot expressar com

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

D'ara endavant, en aquest manual, llevat que s'indiqui el contrari, la matriu de material es denota per \(D\) (o \(\hat{C}\)). Per a les components concretes de l'elasticitat lineal isòtropa, consulteu Elasticitat lineal.

Convencions dels operadors diferencials¶

Operador de gradient simètric¶

Per a un camp vectorial \(\boldsymbol{u}\), l'operador de gradient simètric \(\nabla_S\) es defineix com

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

En components, \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). La deformació infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) es pot expressar de manera compacta amb aquest operador. La distinció de la configuració (referència/actual) respecte de la qual es calcula el gradient en deformació finita es tracta a Moviment, deformació i deformació unitària.

Derivada temporal material¶

La derivada temporal material d'una magnitud \(A\) (la derivada temporal seguint el mateix punt material) es denota amb un punt superior, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

La velocitat i l'acceleració segueixen aquesta convenció.

Temes relacionats¶

Moviment, deformació i deformació unitària — Conceptes de configuració de referència/actual i convencions de notació dependents de la configuració (majúscules/minúscules, derivades materials/espacials)
Tensió i lleis de conservació — Derivació de les equacions governants amb aquesta notació
Principi dels treballs virtuals — Ús de la forma feble i de la notació de Voigt
Elasticitat lineal — Forma concreta de la matriu de material \(D\)
Funcions de forma i aproximació per elements finits — Càlcul de la rigidesa d'element amb notació de Voigt