Equació de conducció de calor¶

Aquest capítol resumeix l’equació governant de la conducció de calor tractada per FrontISTR a escala contínua i les seves condicions de contorn. La discretització temporal i la discretització per MEF es deixen per a la secció de discretització (L3d) i la secció de l’algorisme de solució (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Equació governant¶

L’equació de conducció de calor en un continu es dona de la manera següent.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Aquí, \(\rho=\rho(x)\) denota la densitat de massa, \(c=c(x,T)\) la calor específica, \(T=T(x,t)\) la temperatura, \(k=k(x,T)\) la conductivitat tèrmica, \(Q=Q(x,T,t)\) la generació de calor, \(x\) la posició i \(t\) el temps. \(k_x, k_y, k_z\) són les conductivitats tèrmiques en les direccions respectives per a la conducció de calor anisòtropa.

Per a propietats tèrmiques específiques, incloses la dependència de la temperatura i l’anisotropia, vegeu Propietats tèrmiques.

Condicions de contorn¶

Sigui \(S\) el domini considerat, amb la seva frontera denotada per \(\Gamma\). Suposant que a tot \(\Gamma\) es prescriu una condició de contorn de tipus Dirichlet o de tipus Neumann, les condicions de contorn es donen de la manera següent.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Aquí, s’assumeix que es coneixen les formes funcionals de \(T_1\) i \(q\). \(q\) és el flux de calor que surt de la frontera. El flux de calor de frontera \(q\) consta dels tres components següents.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Aquí, \(q_s\) és el flux de calor distribuït, \(q_c\) és el flux de calor degut a la transferència de calor per convecció i \(q_r\) és el flux de calor degut a la transferència de calor per radiació.

Aquí, \(Tc=Tc(x,t)\) és la temperatura ambient per a la transferència de calor per convecció, \(hc=hc(x,t)\) és el coeficient de transferència de calor per convecció, \(Tr=Tr(x,t)\) és la temperatura ambient per a la transferència de calor per radiació, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) és el coeficient de transferència de calor per radiació, \(\varepsilon\) és l’emissivitat, \(\sigma\) és la constant de Stefan-Boltzmann i \(F\) és el factor de vista.

Per saber com especificar aquestes condicions en un fitxer d’entrada, vegeu Condicions de contorn i càrregues a la referència de funcions.

Forma feble¶

Acoblament amb l’anàlisi estructural¶

Temes relacionats¶

Conducció de calor transitòria — Discretització temporal i iteració no lineal
Propietats tèrmiques — Formulació de les propietats del material i dependència de la temperatura
Funcions de forma i aproximació per elements finits — Marc per a la discretització per MEF
Referència de funcions: Condicions de contorn i càrregues — Entrada de condicions de contorn per a l’anàlisi de conducció de calor