Marc de l'anàlisi incremental¶
Necessitat de l'anàlisi incremental¶
Com s'ha indicat anteriorment, en l'anàlisi de problemes de petites deformacions es pot dur a terme una anàlisi per elements finits utilitzant el principi dels treballs virtuals, equivalent a les equacions fonamentals com ara les equacions d'equilibri, i discretitzant aquesta expressió mitjançant elements finits. En l'anàlisi de problemes de deformació finita que tracten grans deformacions de les estructures, el principi bàsic utilitzat continua sent igualment el principi dels treballs virtuals.
Tanmateix, en els problemes de deformació finita, fins i tot si se suposa un comportament lineal del material, l'expressió del principi dels treballs virtuals esdevé una equació no lineal respecte del desplaçament. Per resoldre equacions no lineals, normalment es fan càlculs repetitius mitjançant un mètode iteratiu.
En aquests càlculs iteratius s'utilitza un mètode d'anàlisi incremental en què el càlcul es fa per trams per a petits increments de càrrega, que s'acumulen fins a arribar a l'estat final de deformació. Quan se suposa un problema de petites deformacions, no es feia cap distinció particular entre les configuracions abans i després de la deformació per definir la deformació específica i la tensió. És a dir, sota la hipòtesi de petites deformacions, no importava si la configuració utilitzada per descriure les equacions fonamentals era la configuració abans o després de la deformació.
Quan es fa una anàlisi incremental d'un problema de deformació finita, la formulació varia segons si es pren com a configuració de referència la configuració inicial o la configuració al començament de l'increment. El primer cas s'anomena mètode total Lagrange i el segon mètode updated Lagrange. Per obtenir-ne detalls, consulteu les referències al final del capítol i altres materials relacionats.
Equació de partida: principi dels treballs virtuals a l'instant \(t'\)¶
Suposem una anàlisi incremental en què l'estat fins a l'instant \(t\) és conegut i l'estat a l'instant \(t' = t + \Delta t\) és desconegut (vegeu la figura 2.2.1). Les equacions d'equilibri, les condicions de contorn i el principi dels treballs virtuals a l'instant \(t'\) (expressats en la configuració actual mitjançant la tensió de Cauchy \(^{t'}\sigma\) i la part lineal de la deformació d'Almansi \(^{t'} A_{(L)}\)) són els que es donen a Principi dels treballs virtuals.
Figura 2.2.1 Concepte de l'anàlisi incremental
Tanmateix, com que aquesta equació de partida està escrita en la configuració (desconeguda) de l'instant \(t'\), en el procediment de resolució real es torna a seleccionar com a configuració de referència la configuració inicial \(V\) a l'instant \(0\) o la configuració actual \(^{t'} v\) a l'instant \(t\), es reescriu l'equació en forma incremental i després es resol:
- Mètode Total Lagrange — Utilitza la configuració inicial \(V\) com a referència. S'utilitzen la segona tensió PK \(\boldsymbol{S}\) i la deformació de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\).
- Mètode Updated Lagrange — Utilitza com a referència la configuració actual \(^{t}v\) al començament de l'increment. S'utilitzen la tensió de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) i la part lineal de la deformació d'Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).
Per a la discretització espacial d'ambdues formulacions (matriu B i vector de forces internes), consulteu Discretització del treball virtual intern; per a la linealització i la construcció de la rigidesa tangent, consulteu Matriu de rigidesa tangent.
Elements relacionats¶
- Principi dels treballs virtuals — equació de partida principal (forma feble en les configuracions actual i inicial)
- Discretització del treball virtual intern — matrius B i vectors de forces internes per a TL/UL
- Matriu de rigidesa tangent — \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\) obtingudes per linealització
- Mètode de Newton-Raphson — algoritme iteratiu