Salta el contingut

Principi dels treballs virtuals

A partir de l'equació d'equilibri i de les condicions de contorn derivades a Tensió i lleis de conservació, derivem el principi dels treballs virtuals, que és la forma feble del problema de valors de contorn de la mecànica del continu. La discretització per elements finits parteix d'aquesta forma feble. Aquest capítol presenta tant la forma en la configuració actual (expressada mitjançant la tensió de Cauchy i la part lineal de la deformació d'Almansi) com la forma en la configuració de referència (expressada mitjançant la segona tensió de Piola-Kirchhoff i la deformació de Green-Lagrange), en demostra l'equivalència i, finalment, confirma la reducció a petites deformacions.

Equació d'equilibri i condicions de contorn

Sia \(\boldsymbol{g}\) la força volumètrica que actua sobre el continu per unitat de massa, i considerem un cos que ocupa el domini \(\Omega\) en la configuració actual. La frontera \(\Gamma\) es divideix en la frontera geomètrica, on es prescriu el desplaçament \(\bar{\boldsymbol{u}}\), \(\Gamma_B\), i la frontera mecànica, on es prescriu la tracció \(\bar{\boldsymbol{t}}\), \(\Gamma_t\), amb \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) i \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). Per a un problema estàtic, l'equació d'equilibri s'obté ometent el terme inercial de la llei de conservació de la quantitat de moviment mostrada a Tensió i lleis de conservació:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ \Omega \]

Les condicions de contorn són

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

D'ara endavant, el principi dels treballs virtuals es deriva com la forma feble de l'equació d'equilibri i de la condició de contorn mecànica \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). La condició de contorn geomètrica \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) s'incorpora mitjançant l'elecció de la funció de prova.

Forma feble en la configuració actual

En la forma feble, definim respectivament l'espai admissible per al desplaçament desconegut i l'espai de funcions de prova com

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{on} \ \Gamma_B \} \]

Aquí, \(d\) és la dimensió espacial, \(H^1(\Omega)\) és l'espai de Sobolev de funcions quadrat-integrables juntament amb les seves primeres derivades febles, i \(\delta\) denota variació. En la representació de la configuració actual, \(\Omega\) és la configuració deformada; en una solució numèrica real, es transforma de nou a la configuració de referència o a una configuració intermèdia coneguda.

Multiplicant l'equació d'equilibri pel pes \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) i aplicant el teorema de la divergència de Gauss i la condició de contorn mecànica s'obté el principi dels treballs virtuals següent en la configuració actual.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Aquí, \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) és la part lineal del tensor de deformació d'Almansi, definida per

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

La seva variació és \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Per tant, busquem \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) tal que l'equació dels treballs virtuals es compleixi per a tot \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). El membre esquerre és el treball virtual de les forces internes, mentre que el membre dret és el treball virtual de les forces externes degudes a la tracció prescrita i a la força volumètrica.

Com que aquesta equació s'escriu sobre el domini deformat (configuració actual), en un procediment de solució real es torna a seleccionar la configuració inicial \(\Omega_0\) (configuració de referència) o una configuració intermèdia coneguda com a configuració de referència, es reescriu l'equació en forma incremental i després es resol. Consulteu Marc per a l'anàlisi incremental per a l'elecció concreta de la configuració de referència (Lagrangià total / Lagrangià actualitzat) i la descomposició incremental.

Forma feble en la configuració inicial

Considerem un cos que ocupa el domini \(\Omega_0\) en la configuració de referència, amb la frontera \(\Gamma_0\) dividida en \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Transformant la representació de la configuració actual a la configuració de referència s'obté el parell conjugat tensió-deformació format per la segona tensió de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) i la deformació de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). El principi dels treballs virtuals en la configuració inicial és aleshores

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Aquí, \(\rho_0\) és la densitat de massa en la configuració de referència i, per la relació de conservació de massa \(\rho_0 = J\rho\), aquesta expressió és equivalent a la representació de la força volumètrica en la configuració actual.

Equivalència de les representacions en la configuració actual i inicial

El treball virtual de les forces internes en les dues representacions coincideix mitjançant la transformació pel gradient de deformació \(\boldsymbol{F}\) i la relació de volum \(J = \det \boldsymbol{F}\); és a dir,

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Els termes de forces externes també són equivalents per la conservació de massa i la transformació de la tracció. Per tant, l'equació dels treballs virtuals en la configuració actual i la de la configuració inicial expressen el mateix principi en configuracions diferents. Un mètode de solució que pren com a referència la configuració de referència correspon al mètode de Lagrange total, mentre que un mètode de solució que pren com a referència la configuració actual (la configuració convergida immediatament anterior) correspon al mètode de Lagrange actualitzat.

Reducció a petites deformacions

Sota les hipòtesis de petites deformacions \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) i \(J \approx 1\), desapareix la distinció entre la configuració actual i la de referència, la segona tensió PK coincideix amb la tensió de Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), i tant la deformació de Green-Lagrange com la part lineal de la deformació d'Almansi es redueixen a la deformació infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

El principi dels treballs virtuals es redueix aleshores a la forma feble expressada en termes de la tensió de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) i la deformació infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ \Gamma_B \]

Aquesta és la forma feble utilitzada directament per a la discretització en l'anàlisi estàtica lineal elàstica de petites deformacions (Anàlisi estàtica lineal elàstica (Introducció i apèndix) parteix d'aquesta forma i mostra la construcció de la rigidesa d'element \(\boldsymbol{K}^e\) mitjançant l'assemblatge de l'equació global \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Substituint la llei constitutiva elàstica lineal \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) i escrivint \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) en notació de Voigt, la forma feble esdevé

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

que té aquesta forma.

Temes relacionats

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status