Tensió i lleis de conservació¶
Aquest capítol organitza les definicions i les relacions entre els tensors de tensió, juntament amb les equacions d’equilibri i la simetria de la tensió derivades de la conservació de la massa, de la quantitat de moviment lineal i del moment angular. S’introdueixen els tres tensors de tensió —tensió de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), primera tensió de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\) i segona tensió de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\)— segons quina configuració s’utilitza per a la superfície de referència i el vector de força. Vegeu Moviment, deformació i deformació unitària per a les definicions de configuració, moviment i gradient de deformació, i Llista de símbols de magnituds físiques per a la llista de símbols.
Tensor de tensió de Cauchy¶
Sigui \(d\boldsymbol{f}\) la força que actua sobre una superfície infinitesimal en un punt \(\boldsymbol{x}\) de la configuració actual (àrea \(d\Gamma\), normal unitària exterior \(\boldsymbol{n}\)), i definiu el vector de tracció \(\boldsymbol{t}\) com la força per unitat d’àrea mitjançant \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) depèn tant de la posició \(\boldsymbol{x}\) com de la normal \(\boldsymbol{n}\). Aplicant la conservació de la quantitat de moviment a un tetraedre infinitesimal es mostra que \(\boldsymbol{t}\) és lineal en \(\boldsymbol{n}\), de manera que existeix un tensor de segon ordre \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\) tal que
per a qualsevol \(\boldsymbol{n}\) (teorema de la tensió de Cauchy). Aquest tensor \(\boldsymbol{\sigma}\) s’anomena tensor de tensió de Cauchy, i també tensió real, perquè representa la força per unitat d’àrea mesurada respecte de la geometria de la configuració actual. El component \(\sigma_{ij}\) representa el component \(x_i\) de la força per unitat d’àrea que actua sobre una superfície infinitesimal normal a l’eix de coordenades \(x_j\) en la configuració actual.
Com es mostra més endavant a partir de la conservació del moment angular, la tensió de Cauchy és un tensor simètric:
Per tant, en tres dimensions té sis components independents (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). La vectorització de la tensió en notació de Voigt assumeix aquesta simetria (vegeu Notació tensorial i fonaments matemàtics). La tensió de Cauchy s’utilitza per a la sortida de tensions en l’anàlisi geomètricament no lineal de FrontISTR amb el mètode de Lagrange actualitzat i en l’anàlisi de petites deformacions.
Primera i segona tensions de Piola-Kirchhoff¶
Per a deformacions finites sovint és convenient expressar la tensió respecte de superfícies i vectors de la configuració de referència, de manera que s’introdueixen dos tensors de tensió de Piola-Kirchhoff. Sigui \(d\Gamma_0\) l’àrea d’una superfície infinitesimal en la configuració de referència i \(\boldsymbol{N}\) la seva normal unitària exterior.
La primera tensió de Piola-Kirchhoff (primera tensió PK, tensió nominal) \(\boldsymbol{P}\) es defineix com el tensor de tensió obtingut quan la força \(d\boldsymbol{f}\) de la configuració actual s’aplica a una superfície infinitesimal de la configuració de referència:
Utilitzant la fórmula de Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) juntament amb el teorema de la tensió de Cauchy s’obté la relació amb la tensió de Cauchy
La primera tensió PK és, en general, no simètrica.
La segona tensió de Piola-Kirchhoff (segona tensió PK) \(\boldsymbol{S}\) es defineix com el tensor de tensió obtingut portant enrere la força \(d\boldsymbol{f}\) de la configuració actual a la configuració de referència amb \(\boldsymbol{F}^{-1}\) i aplicant-la a una superfície infinitesimal de la configuració de referència:
Tant el vector de força com la superfície sobre la qual actua s’expressen amb magnituds de la configuració de referència, cosa que el fa invariant davant rotacions de cos rígid i simètric. La seva relació amb la primera tensió PK i la transformació des de la tensió de Cauchy són
La segona tensió PK es deriva d’una funció hiperelàstica d’energia de deformació \(W(\boldsymbol{C})\) com \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) i, en el mètode de Lagrange total, s’utilitza juntament amb la deformació de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) com a parell conjugat en treball \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).
A continuació es resumeixen les configuracions de referència i les propietats de simetria. En el límit de petites deformacions (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)), les tres tensions coincideixen.
| Tensor de tensió | Superfície de referència | Vector de força | Simetria | Aplicació |
|---|---|---|---|---|
| Tensió de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) | Configuració actual \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\) | Configuració actual \(d\boldsymbol{f}\) | Simètrica | Mètode de Lagrange actualitzat / anàlisi de petites deformacions |
| Primera tensió PK \(\boldsymbol{P}\) | Configuració de referència \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Configuració actual \(d\boldsymbol{f}\) | Generalment no simètrica | Equacions d’equilibri en la configuració de referència |
| Segona tensió PK \(\boldsymbol{S}\) | Configuració de referència \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\) | Configuració de referència \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\) | Simètrica | Mètode de Lagrange total / hiperelasticitat |
Conservació de la massa i de la quantitat de moviment i equacions d’equilibri¶
Sigui \(\rho\) la densitat de massa en la configuració actual i \(\rho_0\) la densitat de massa en la configuració de referència. La llei de conservació de la massa \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), juntament amb la transformació de l’element de volum \(dv = J\, dV\), es redueix a la forma local
Aquesta és la relació local de conservació de la massa.
Sigui \(\boldsymbol{g}\) la força volumètrica per unitat de massa i \(\boldsymbol{a}\) l’acceleració. Aplicant el teorema de la tensió de Cauchy i el teorema de la divergència de Gauss a la conservació de la quantitat de moviment lineal (primera llei del moviment d’Euler) s’obté l’equació d’equilibri (equació del moviment) local en la configuració actual:
Reescrivint la integral en la configuració de referència mitjançant la fórmula de Nanson i \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\) s’obté la forma local en la configuració de referència:
Les dues formes són equivalents mitjançant la regla de transformació de la tensió i \(\rho_0 = J\rho\). Negligint el terme inercial s’obté
que és l’equació d’equilibri estàtic i constitueix el punt de partida de l’anàlisi estàtica de FrontISTR (lineal i no lineal).
Conservació del moment angular i simetria de la tensió¶
Combinant la conservació del moment angular (segona llei del moviment d’Euler) amb l’equació d’equilibri derivada de la conservació de la quantitat de moviment lineal s’obté la simetria del tensor de tensió de Cauchy:
Així, té sis components independents en tres dimensions. Prenent la transposada dels dos membres de la transformació \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) i utilitzant la no-singularitat de \(\boldsymbol{F}\) es mostra que la segona tensió PK també és simètrica:
i, per tant, també té sis components independents. En canvi, la primera tensió PK \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) generalment no és simètrica; només es compleix la relació \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (és a dir, \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) és simètrica), i té nou components independents.
Aquestes simetries són la base per expressar la tensió com un vector de sis components en notació de Voigt. Vegeu Notació tensorial i fonaments matemàtics i Elasticitat lineal per a les convencions de la notació de Voigt i la construcció de les matrius de material.