Moviment, deformació i deformació unitària¶

Configuracions de referència i actual¶

Definició de les configuracions¶

Per distingir quina forma en el temps s’utilitza com a base per descriure les magnituds físiques, aquest manual utilitza dues configuracions.

Configuració de referència: la forma no deformada a l’inici de l’anàlisi (temps \(0\)), també anomenada configuració inicial. Un punt de la configuració de referència es representa mitjançant la coordenada material \(\boldsymbol{X}\), amb volum \(V\) i superfície \(S\).
Configuració actual: la forma deformada en el temps \(t\). Un punt de la configuració actual es representa mitjançant la coordenada espacial \(\boldsymbol{x}\), amb volum \(v\) i superfície \(s\).

El moviment es representa com una aplicació entre aquestes dues configuracions, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), i el desplaçament es defineix com \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Notació dependent de la configuració (majúscules/minúscules)¶

L’ús de majúscules o minúscules en un símbol distingeix la configuració a la qual pertany una magnitud física.

Les magnituds que pertanyen a la configuració de referència s’escriuen amb símbols en majúscula (per exemple, \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Les magnituds que pertanyen a la configuració actual s’escriuen amb símbols en minúscula (per exemple, \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Les magnituds que abasten ambdues configuracions, com la primera tensió de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\), utilitzen la notació convencional i s’identifiquen explícitament al text quan cal.
En la teoria de petites deformacions, la distinció entre les dues configuracions desapareix, de manera que només s’utilitzen símbols en minúscula (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Gradients de la configuració de referència i de la configuració actual¶

La notació i el significat difereixen segons la configuració respecte de la qual es pren una derivada espacial.

Gradient de la configuració de referència \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): gradient respecte de les coordenades materials. Exemple: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Gradient de la configuració actual \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): gradient respecte de les coordenades espacials. Exemple: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Estan relacionats per \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Per al conveni de les derivades temporals (derivada material respecte del temps \(\dot{(\cdot)}\)), vegeu Notació tensorial i fonaments matemàtics.

Descripció del moviment¶

Aplicació del moviment i descripcions material/espacial¶

Si un continu es considera una col·lecció de punts materials etiquetats per les seves posicions \(0\) en el temps \(\boldsymbol{X}\), el moviment es representa mitjançant una aplicació \(\boldsymbol{X}\) que associa cada punt material \(t\) amb la seva posició \(\boldsymbol{x}\) en el temps \(\phi\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

Segons el conveni que la configuració de referència és la configuració inicial, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Es distingeixen dues descripcions segons l’elecció de les variables independents.

Descripció material (descripció lagrangiana): representa les magnituds físiques com a funcions de \((\boldsymbol{X}, t)\). En mecànica de sòlids és una elecció natural perquè la configuració de referència es dona com una forma fixa.
Descripció espacial (descripció euleriana): representa les magnituds físiques com a funcions de \((\boldsymbol{x}, t)\). Aquesta és la descripció estàndard en mecànica de fluids.

L’anàlisi estructural de FrontISTR es basa fonamentalment en la descripció material, però el mètode de Lagrange actualitzat també utilitza magnituds de la descripció espacial perquè la configuració actual s’utilitza com a nova configuració de referència.

Desplaçament, velocitat i acceleració¶

Com s’ha indicat a la secció anterior, el desplaçament \(\boldsymbol{u}\) es defineix per \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). No es fa cap hipòtesi sobre la seva magnitud, de manera que s’inclou la deformació finita. Els vectors de velocitat i acceleració es defineixen com a derivades materials respecte del temps de \(\boldsymbol{u}\) mantenint fix el punt material:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Aquestes equacions defineixen la velocitat i l’acceleració.

Gradient de deformació i tensors de deformació¶

Tensor gradient de deformació¶

La magnitud fonamental de la mecànica del continu amb deformació finita és el tensor gradient de deformació \(\boldsymbol{F}\). És l’aplicació lineal que transforma un element de línia infinitesimal \(d\boldsymbol{X}\) de la configuració de referència en un element de línia infinitesimal \(d\boldsymbol{x}\) de la configuració actual, i es defineix com el gradient de l’aplicació del moviment respecte de les coordenades materials:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

Definit així (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)), \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\) en l’estat no deformat. \(\boldsymbol{F}\) s’utilitza àmpliament per definir la deformació i la tensió i per transformar magnituds físiques entre configuracions.

Relació de volums¶

La relació entre un volum infinitesimal \(dV\) de la configuració de referència i el volum infinitesimal corresponent \(dv\) de la configuració actual s’anomena relació de volums \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

La invertibilitat del continu requereix \(J > 0\). La conservació de la massa s’expressa com \(\rho_0 = J\rho\).

Tensors de deformació de Cauchy-Green dret i esquerre¶

Com que el gradient de deformació \(\boldsymbol{F}\) inclou la rotació de cos rígid, les mesures de la deformació utilitzen magnituds de les quals s’ha eliminat aquesta rotació. El tensor de deformació de Cauchy-Green dret \(\boldsymbol{C}\) (configuració de referència) i el tensor de deformació de Cauchy-Green esquerre \(\boldsymbol{b}\) (configuració actual) es defineixen com

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

Tots dos són tensors simètrics i tenen els mateixos valors propis (els quadrats dels allargaments principals). Els invariants principals de les funcions hiperelàstiques d’energia de deformació s’expressen utilitzant aquests tensors.

Tensors de deformació unitària¶

Tensor de deformació de Green-Lagrange¶

Com a mesura de deformació referida a la configuració de referència, el tensor de deformació de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) es defineix per

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

És un tensor simètric que representa el canvi en el producte intern de vectors infinitesimals de la configuració de referència, és invariant davant la rotació de cos rígid i satisfà \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) en l’estat no deformat. Utilitzant \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) s’obté

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Això expressa la deformació com la suma de termes de primer i segon ordre del gradient de desplaçament; el terme de segon ordre representa la no-linealitat geomètrica. En el mètode de Lagrange total s’utilitza com a parell conjugat en treball \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Tensor de deformació d’Almansi¶

Com a mesura de deformació referida a la configuració actual, el tensor de deformació d’Almansi \(\boldsymbol{e}\) es defineix per

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Està relacionat amb la deformació de Green-Lagrange per \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (pull-back).

Tensor de deformació infinitesimal¶

Quan el gradient de desplaçament és petit (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), es pot negligir el terme de segon ordre de la deformació de Green-Lagrange. Com que aleshores desapareix la distinció entre les dues configuracions, es redueix al tensor de deformació infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\), amb el gradient escrit en coordenades espacials:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR utilitza aquesta mesura de deformació per a l’anàlisi estàtica lineal, l’anàlisi modal, l’anàlisi de resposta en freqüència i l’anàlisi dinàmica lineal. L’anàlisi de deformació finita utilitza \(\boldsymbol{E}\) en el mètode de Lagrange total i el tensor de velocitat de deformació \(\boldsymbol{D}\) referit a la configuració actual en el mètode de Lagrange actualitzat.