Formulacions avançades d’elements¶

La formulació estàndard basada en desplaçaments presentada a Formulació d’elements sòlids 3D presenta una rigidesa artificial excessiva coneguda com a bloqueig (bloqueig volumètric o bloqueig per cisallament) quan s’aplica a materials gairebé incompressibles o a estructures de paret prima dominades per la flexió. Per evitar-ho, FrontISTR proporciona els mètodes B-bar i F-bar, que substitueixen només la part volumètrica de la matriu B o del gradient de deformació; elements incompatibles amb graus de llibertat interns; elements mixtos u-p que tracten la pressió com un camp desconegut independent; i elements de closca MITC i elements de biga especialitzats en estructures de placa i biga.

Aquest capítol resumeix les formulacions d’aquests elements avançats i elements estructurals, element per element.

Mètode B-bar¶

Quan s’utilitza un element hexaèdric lineal de 8 nodes per a un material gairebé incompressible, el camp de deformacions dins d’un element pot entrar en conflicte amb la restricció de volum constant, produint una rigidesa excessiva coneguda com a bloqueig volumètric. El mètode B-bar alleuja aquesta sobrerestricció substituint els components de la matriu B que contribueixen a l’expansió volumètrica per valors avaluats al centre de l’element [Hughes1980].

Al centre de l’element \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), sigui \(\bar{\boldsymbol{B}}\) la matriu B calculada a partir de les derivades espacials de les funcions de forma; al punt d’integració \(\boldsymbol{r}\), sigui \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\) la matriu B ordinària. En la relació desplaçament-deformació per al node \(\alpha\) i el grau de llibertat \(i\), els components de deformació volumètrica \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) es modifiquen afegint

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

Per als components de cisallament \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\), s’utilitza la \(\boldsymbol{B}\) ordinària. La rigidesa de l’element i el vector de forces internes s’assemblen utilitzant la matriu B-bar resultant.

FrontISTR proporciona aquesta formulació específicament per a l’element hexaèdric lineal de 8 nodes (ID d’element 361; vegeu Sistema de numeració d’elements), i es pot aplicar a formulacions de petites deformacions, de Lagrange total i de Lagrange actualitzat.

Mètode F-bar¶

En deformació finita, el canvi volumètric entra de manera no lineal a través del gradient de deformació \(\boldsymbol{F}\). El mètode F-bar [deSouzaNeto1996] aplica un tractament del bloqueig volumètric anàleg al mètode B-bar al nivell del gradient de deformació.

Sigui \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\) la relació de volums del gradient de deformació avaluat al centre de l’element \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), i sigui \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\) la relació de volums en un punt d’integració. El gradient de deformació al punt d’integració se substitueix per

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Això dona \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), de manera que la relació de volums a tot l’element s’iguala al valor del centre de l’element. La \(\bar{\boldsymbol{F}}\) substituïda s’utilitza per a l’avaluació de tensions i la construcció de la matriu deformació-desplaçament, i la rigidesa tangent de l’element inclou els termes addicionals associats a aquesta substitució.

FrontISTR implementa el mètode F-bar específicament per a l’element hexaèdric lineal de 8 nodes, i es pot aplicar tant a petites deformacions com a geometria no lineal de Lagrange total / Lagrange actualitzat.

Elements incompatibles¶

L’element hexaèdric lineal de 8 nodes no disposa dels modes de deformació necessaris per a la flexió i presenta bloqueig per flexió en problemes dominats per la flexió. Els elements incompatibles [Taylor1976] introdueixen modes de desplaçament addicionals dins de l’element per compensar aquesta deficiència.

A més dels desplaçaments nodals de l’element \(\boldsymbol{u}^e\), s’introdueixen graus de llibertat de modes incompatibles \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), que existeixen només dins de l’element, com 3 direccions × 3 modes per element, i el camp de desplaçaments s’aproxima com

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

Per a les coordenades naturals \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), les funcions de forma incompatibles es prenen com \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) i \(M_3 = 1 - \zeta^2\). No garanteixen la continuïtat a través de les fronteres dels elements, però afegeixen un espai intern capaç de reproduir les deformacions associades als modes de flexió.

La rigidesa de l’element s’assembla primer en una forma de blocs de GDL externs/GDL interns

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

Després de l’assemblatge en aquesta forma, la condensació estàtica elimina els graus de llibertat interns utilitzant \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), i dona la rigidesa de l’element que implica només els graus de llibertat externs

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

que es passa a l’assemblatge global.

FrontISTR implementa l’element incompatible específicament per a l’element hexaèdric lineal de 8 nodes (C3D8IC), i es pot aplicar a formulacions de petites deformacions, de Lagrange total i de Lagrange actualitzat.

Elements mixtos U-P¶

Mentre que els mètodes B-bar i F-bar corregeixen el component volumètric dins d’un marc basat en desplaçaments, l’element mixt u-p (U-P) utilitza una formulació mixta [Bathe1996] que introdueix la pressió \(\lambda\) com un camp desconegut independent del desplaçament. Per a materials gairebé incompressibles, com materials similars al cautxú amb un coeficient de Poisson extremadament proper a 0.5 o metalls després de deformació plàstica, imposar la restricció de volum constant utilitzant només el camp de desplaçaments provoca bloqueig volumètric; tractar la pressió com una variable independent relaxa aquesta restricció.

La tensió se separa en components desviador i de pressió com

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Aquí, \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) és la matriu elàstica desviadora obtinguda eliminant de la matriu elàstica la part volumètrica proporcional al mòdul volumètric \(K\). La pressió \(\lambda\) i la deformació volumètrica \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) estan relacionades per la restricció mitjançant la compressibilitat \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

La discretització amb el desplaçament \(\boldsymbol{u}\) i la pressió \(\lambda\) com a incògnites dona el sistema acoblat de l’element

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

on \(\mathbf{K}_{uu}\) conté la contribució elàstica desviadora i, per a deformació finita, la rigidesa geomètrica; \(\mathbf{K}_{up}\) acobla la deformació volumètrica i la pressió; i \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) és el terme d’estabilització de la pressió (\(\boldsymbol{N}_p\) és la funció de forma de la pressió). Com que els graus de llibertat de pressió són interns a l’element,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

la condensació estàtica es realitza en aquesta forma, i la rigidesa efectiva que implica només els graus de llibertat externs (de desplaçament) es passa a l’assemblatge global.

FrontISTR implementa l’element U-P específicament per a l’element hexaèdric lineal de 8 nodes, amb un grau de llibertat de pressió per element (constant dins de l’element). Es pot aplicar a formulacions de petites deformacions, de Lagrange total i de Lagrange actualitzat. En Lagrange actualitzat, la tensió desviadora s’actualitza utilitzant una velocitat objectiva de tensió (tipus Jaumann/Hughes-Winget), i després s’imposa la pressió \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) utilitzant el valor obtingut per condensació estàtica.

Elements de closca¶

Els elements de closca basats en la teoria de plaques/closques de Reissner-Mindlin s’utilitzen per a estructures de placa i closca de paret prima. A mesura que disminueix el gruix, els elements de placa/closca d’ordre baix basats en desplaçaments sobreestimen la deformació de cisallament transversal mitjançant un mecanisme anàleg al bloqueig volumètric (bloqueig per cisallament), cosa que fa augmentar excessivament la rigidesa dels modes de flexió. El mètode MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] evita aquest problema tornant a mostrejar només els components de deformació de cisallament en punts d’enllaç predefinits dins de l’element i interpolant de nou aquests valors mostrejats sobre l’element.

Els nodes d’un element de closca MITC es troben a la superfície mitjana, i cada node té sis graus de llibertat: tres components de translació i tres components de rotació respecte del sistema de coordenades normal a la superfície mitjana. La rigidesa de l’element s’avalua mitjançant integració gaussiana tridimensional sobre les coordenades naturals de la superfície mitjana i la direcció del gruix, i el gruix \(h\) es proporciona com una propietat de l’element durant l’avaluació constitutiva.

FrontISTR proporciona MITC3 (ID d’element 731), MITC4 (741) i MITC9 (743), representats per una sola capa de superfície mitjana, així com elements de closca en capes MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 nodes, 3 GDL per node) i MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 nodes, 3 GDL per node), els nodes dels quals es disposen en dues capes a través del gruix. En els elements de closca en capes, els graus de llibertat nodals consisteixen només en tres components de translació, mentre que els modes de flexió corresponents als graus de llibertat de rotació es representen mitjançant la disposició en dues capes.

Elements de biga¶

Els membres lineals, com ara jàsseres i estructures de pòrtic, es discretitzen amb elements de biga. FrontISTR utilitza una formulació de biga de Timoshenko que té en compte la deformació per cisallament i expressa tant la flexió com el cisallament com a funcions dels graus de llibertat de translació i rotació.

Cada node de biga té sis graus de llibertat: tres components de translació i tres components de rotació al voltant de l’eix de la biga i dels eixos transversals. La rigidesa de l’element s’avalua mitjançant integració numèrica unidimensional al llarg de l’eix de la biga. L’àrea de la secció transversal \(A\) i els segons moments d’àrea \(I\) en les direccions de flexió i torsió es proporcionen com a propietats de la secció de la biga i, juntament amb el mòdul de Young \(E\) i el mòdul de cisallament \(G\) del material, defineixen les rigideses axial, de flexió, torsional i de cisallament.

FrontISTR proporciona un element de biga recta de 2 nodes (ID d’element 611) i un element híbrid sòlid-biga tetraèdric de 4 nodes representat amb 3 nodes (641, per a graus de llibertat mixtos).

Temes relacionats¶

Formulació d’elements sòlids 3D — Comparació amb la formulació estàndard
Sistema de numeració d’elements i biblioteca de funcions de forma — ID dels tipus d’element
Biblioteca d’elements (funcions) — Directrius per seleccionar cada element