Salta el contingut

Funcions de forma dels elements sòlids 3D

Aquest capítol resumeix els sistemes de coordenades naturals i les formes explícites de les funcions de forma \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) introduïdes a Funcions de forma i aproximació per elements finits per als elements sòlids tridimensionals que FrontISTR utilitza en l'anàlisi del continu. Els sis tipus considerats són tetraedres de primer/segon ordre (341/342), prismes triangulars de primer/segon ordre (351/352) i hexaedres de primer/segon ordre (361/362). Per a l'ordre dels nodes i els números de cara en el format de malla HEC-MW, consulteu la Biblioteca d'elements de la referència de funcions.

El procediment per construir la integració d'element a partir d'aquestes funcions de forma i del determinant del Jacobi segueix Integració numèrica. Les formulacions B-bar, F-bar i incompatible de 361, així com les funcions de forma dels elements de biga i de closca, es tracten a Formulacions avançades d'elements.

Sistemes de coordenades naturals i ordre intern dels nodes

Les funcions de forma es defineixen sobre les coordenades naturals \(\boldsymbol{r}\) de cada element. Els elements sòlids tridimensionals utilitzen els tres sistemes de coordenades naturals següents segons la forma de l'element.

  • Hexaedres (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
  • Tetraedres (341/342): coordenades volumètriques \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), amb \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) i \(L_i \ge 0\). Prenent \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\) com a variables independents, \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
  • Prismes triangulars (351/352): es combinen les coordenades volumètriques \((\xi, \eta)\) del triangle de base (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) amb la coordenada axial \(\zeta \in [-1, 1]\) per formar \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). La magnitud auxiliar \(a = 1 - \xi - \eta\) s'utilitza com a tercera coordenada volumètrica de la base.

En els elements de primer ordre, la numeració dels nodes de l'element coincideix entre el format d'entrada HEC-MW i el format intern. En els elements de segon ordre, les convencions d'ordre dels nodes intermedis de les arestes són diferents. FrontISTR accepta com a entrada el format HEC-MW (primer els nodes de vèrtex al voltant de l'element i després els nodes intermedis seguint les arestes 1-2, 2-3, …), mentre que les funcions de forma de la biblioteca d'elements estan implementades suposant un ordre de nodes diferent.

La diferència entre tots dos formats es resol mitjançant hecmw2fstr_mesh_conv, que es crida immediatament després de llegir la malla i reordena els nodes per a cada element. Entre els elements sòlids tridimensionals, es converteixen els dos tipus següents.

Tipus d'element Taula de conversió Contingut
342 (tetraedre de segon ordre) Table342 Reordena els 10 nodes a \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (prisma triangular de segon ordre) Table352 Reordena els 15 nodes a \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Com que el reordenament es fa directament sobre el vector que emmagatzema la connectivitat dels elements, totes les crides posteriors a la biblioteca d'elements utilitzen l'ordre intern de nodes de FrontISTR. Per a l'element hexaèdric de segon ordre 362 no existeix cap taula de conversió perquè l'ordre dels nodes intermedis coincideix entre el format d'entrada HEC-MW i el format intern de FrontISTR. En generar els resultats, la conversió inversa fstr2hecmw_mesh_conv restaura l'ordre dels nodes HEC-MW abans d'escriure, de manera que l'usuari només ha de tenir en compte el format HEC-MW tant per a l'entrada com per a la sortida. Els números de node de les funcions de forma següents corresponen al format intern de FrontISTR després de la conversió.

Funcions de forma dels elements de primer ordre

Per a l'element tetraèdric de primer ordre (341), les funcions de forma són les mateixes coordenades volumètriques:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

Per a l'element de prisma triangular de primer ordre (351), les funcions de forma són el producte de les funcions de forma lineals del triangle de base (\(a, \xi, \eta\)) i les funcions de forma lineals de la direcció axial (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

Per a l'element hexaèdric de primer ordre (361), les funcions de forma són productes tensorials de les funcions de forma lineals en les tres direccions de coordenades:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Aquí \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) són els valors de les coordenades naturals del node \(\alpha\) (cada component és \(\pm 1\)).

Funcions de forma dels elements de segon ordre

Per a l'element tetraèdric de segon ordre (342), les funcions de forma es divideixen entre quatre nodes de vèrtex i sis nodes intermedis d'aresta:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Els nodes intermedis 5–10 corresponen respectivament als punts mitjans de les arestes 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 i 3-4.

L'element de prisma triangular de segon ordre (352) està format per sis nodes de vèrtex, sis nodes intermedis a les arestes de les cares triangulars i tres nodes intermedis a les arestes axials:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Els nodes intermedis 7–9 corresponen als punts mitjans de les arestes del triangle inferior (\(\zeta = -1\)), els nodes 10–12 als punts mitjans de les arestes del triangle superior (\(\zeta = +1\)), i els nodes 13–15 als punts mitjans de les arestes axials.

L'element hexaèdric de segon ordre (362) és un element de 20 nodes de la família Serendipity. Per al node \(\alpha\), siguin \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) els valors de les seves coordenades naturals. Per als nodes de vèrtex (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), amb cada component \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

Per als nodes intermedis d'aresta (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), amb una de les tres coordenades naturals igual a \(0\) i les altres dues iguals a \(\pm 1\)), els nodes amb \(\xi_\alpha = 0\) (arestes orientades en la direcció de l'eix \(\xi\)) tenen

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Els nodes intermedis amb l'aresta orientada segons els eixos \(\eta\) o \(\zeta\) es defineixen de manera anàloga, eliminant amb el terme quadràtic la coordenada natural corresponent.

Temes relacionats

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status