Integració numèrica¶

Els vectors de forces internes de l’element \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) i la matriu de rigidesa de l’element \(\boldsymbol{K}^e\) obtinguts a Discretització del treball virtual intern i Treball virtual extern i assemblatge de l’equació global tenen forma d’integrals sobre el domini de l’element \(\Omega^e\) o \(\Omega^e_0\). FrontISTR les avalua numèricament mitjançant quadratura de Gauss.

Quadratura de Gauss i canvi de variables¶

La quadratura de Gauss aproxima una integral sobre el domini de referència \(\Xi\) mitjançant una combinació lineal dels valors de l’integrand als punts d’integració \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) i dels pesos \(w_i\). Aplicar-la al domini de l’element \(\Omega^e\) implica un canvi de variables mitjançant l’aplicació \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), cosa que dona

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

on \(n_q\) és el nombre de punts d’integració i \(J_{\xi_i}\) és el determinant del jacobià de la transformació. El domini de referència \(\Xi\) es defineix per a cada tipus d’element (per a un hexaedre, \([-1,1]^3\); per a triangles, tetraedres i prismes triangulars, les formes de referència corresponents), i els punts d’integració \(\boldsymbol{\xi}_i\) i els pesos \(w_i\) es donen com a taules numèriques. Les integrals de superfície es tracten de la mateixa manera aplicant una cara de l’element des d’un domini de referència bidimensional.

A continuació es mostren nombres representatius de punts d’integració utilitzats per FrontISTR (per a la correspondència amb els tipus d’element, vegeu Esquema de numeració d’elements i biblioteca de funcions de forma).

Tipus d’element	Regla de quadratura	Nombre de punts d’integració
Tetraedre de 4 nodes (`tet4n`)	Regla d’1 punt	1
Tetraedre de 10 nodes (`tet10n`)	Regla de 4 punts	4
Prisma triangular de 6 nodes (`prism6n`)	Regla de 2 punts	2
Prisma triangular de 15 nodes (`prism15n`)	Regla de 9 punts	9
Hexaedre de 8 nodes (`hex8n`)	Gauss-Legendre 2×2×2	8
Hexaedre de 20 nodes (`hex20n`)	Gauss-Legendre 3×3×3	27
Quadrilàter de 4 nodes (`quad4n`)	Gauss-Legendre 2×2	4
Quadrilàter de 8 nodes (`quad8n`)	Gauss-Legendre 3×3	9
Triangle de 3 nodes (`tri3n`)	Regla d’1 punt	1
Triangle de 6 nodes (`tri6n`)	Regla de 3 punts	3

Per als elements hexaèdrics, quadrilàters i de línia, s’utilitzen productes tensorials de la regla de Gauss-Legendre en cada direcció de coordenades. Els triangles, tetraedres i prismes triangulars utilitzen regles específiques adequades a geometries de tipus símplex (disposicions de punts que integren exactament polinomis sobre el mateix triangle).

Aplicació a la integració dels elements¶

En la integració dels elements, les coordenades naturals \(\boldsymbol{r}\) s’utilitzen com a coordenades del domini de referència (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), i l’aplicació a les coordenades físiques ve donada per la interpolació de les coordenades nodals mitjançant les funcions de forma. Segons l’elecció de la configuració de referència (Marc de l’anàlisi incremental), s’utilitzen les formulacions següents.

Mètode de Lagrange total (integració sobre la configuració de referència \(\Omega^e_0\)): l’aplicació i el jacobià són

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

i la força interna de l’element i la matriu de rigidesa s’aproximen com

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Totes les magnituds \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) s’avaluen al punt d’integració \(\boldsymbol{r}_i\).

Mètode de Lagrange actualitzat (integració sobre la configuració actual \(\Omega^e\)): l’aplicació i el jacobià són

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

s’utilitzen com a aproximacions.

L’única diferència entre les dues formulacions és si les coordenades nodals proporcionades a l’aplicació són \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) o \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); els punts d’integració, els pesos i l’estructura del bucle dels punts d’integració són comuns.

Integració completa i integració reduïda¶

La integració que utilitza prou punts d’integració per integrar exactament el grau polinòmic de l’integrand s’anomena integració completa, mentre que la integració que utilitza un nivell menys de punts d’integració s’anomena integració reduïda. La integració reduïda s’utilitza per alleujar el bloqueig per cisallament i el bloqueig volumètric, però requereix tractar modes de deformació espuris com els modes de rellotge de sorra. El nombre de punts d’integració per a cada tipus d’element i l’elecció entre integració completa i reduïda es tracten a Esquema de numeració d’elements i biblioteca de funcions de forma i a les seccions següents, i a Formulacions avançades d’elements.

Temes relacionats¶

Derivades espacials de les funcions de forma — Càlcul del jacobià
Discretització del treball virtual intern — Magnituds avaluades mitjançant integració numèrica
Formulacions avançades d’elements — Ús de la integració reduïda