Salta el contingut

Treball virtual de les forces externes i assemblatge de les equacions globals

A Discretització del treball virtual de les forces internes, el membre esquerre de la forma feble es va reduir al vector de forces internes de l’element \(\boldsymbol{q}^e\) (mètode UL) o \(\boldsymbol{Q}^e\) (mètode TL). Aquest capítol introdueix el vector de forces externes nodals de l’element \(\boldsymbol{F}^e\) a partir del treball virtual de les forces externes i, a continuació, aplica l’operació d’assemblatge, que reordena i acumula les magnituds nodals dels elements segons el número global de node, fins a obtenir el sistema no lineal d’equacions en desplaçaments nodals que resol l’anàlisi estructural no lineal de FrontISTR.

Descomposició per elements del treball virtual de les forces externes

El membre dret del Principi del treball virtual es pot descompondre element per element en el treball virtual de les forces externes, format per forces volumètriques i traccions superficials prescrites a les fronteres mecàniques. Per escriure en forma matricial la interpolació del desplaçament introduïda a Funcions de forma i aproximació per elements finits, es defineix el bloc \(\alpha\) \(N_\alpha^e\) amb la funció de forma \(d \times d\) del node \(\boldsymbol{N}_\alpha\) a la diagonal, i es forma \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\), de manera que \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\). Substituint-ho en el treball virtual de les forces externes escrit en la configuració de referència s’obté

\[ \delta W^{\mathrm{ext}} = \sum_e \delta\boldsymbol{u}^{eT} \boldsymbol{F}^e, \qquad \boldsymbol{F}^e_\alpha = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{N}_\alpha^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV + \int_{\Gamma^e_{0t}} \boldsymbol{N}_\alpha^T \bar{\boldsymbol{t}}_0\, d\Gamma_0 \]

on el vector de forces externes nodals de l’element s’ordena com \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\). Així, el treball virtual de les forces externes es redueix a la mateixa forma «vector nodal de l’element × funció de prova» que el membre de forces internes (quan s’escriu en la configuració actual, s’obté la mateixa forma mitjançant les substitucions \(dV \to dv\), \(\rho_0 \to \rho\) i \(\bar{\boldsymbol{t}}_0 \to \bar{\boldsymbol{t}}\)).

Assemblatge de les magnituds nodals dels elements

Les magnituds nodals \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e_\alpha\) obtingudes per a cada element s’acumulen en vectors globals ordenats pel número global de node. Sigui el número global de node corresponent al número de node local \(\Omega^e\) de l’element \(\alpha\)

\[ \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \]

Aleshores, una magnitud nodal de l’element és idèntica al component corresponent de la magnitud nodal global (per exemple, \(\boldsymbol{u}^e_\alpha = \boldsymbol{u}_{i_g}\)). Com que un node \(i_g\) és compartit generalment per diversos elements, es defineix el conjunt de parelles \(i_g\) el número global de node de les quals és \((e, \alpha)\) com

\[ \mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \} \]

Utilitzant aquest conjunt per reescriure la suma com \(\sum_e \sum_\alpha = \sum_{i_g} \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)}\), s’obtenen la força interna nodal i el vector global de forces internes sobre tots els \(n_g\) nodes:

\[ \boldsymbol{Q}_{i_g} = \sum_{(e,\alpha) \in \mathcal{E}(i_g)} \boldsymbol{Q}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T \]

Aquí \(\boldsymbol{Q}_{i_g}\) és la resultant de les forces internes nodals dels elements que actuen al node \(i_g\) i és \(\boldsymbol{0}\) quan no actua cap força externa i se satisfà l’equilibri. El mateix procediment en el mètode UL dona \(\boldsymbol{q}_{i_g}, \boldsymbol{q}\); com que els seus valors numèrics satisfan \(\boldsymbol{q} = \boldsymbol{Q}\), a continuació s’utilitza la notació \(\boldsymbol{Q}\) excepte quan cal distingir-les. El vector global de forces externes \(\boldsymbol{F}\) s’obté mitjançant la mateixa acumulació.

En la implementació, el conjunt \(\mathcal{E}(i_g)\) no es construeix explícitament; en canvi, les contribucions s’afegeixen als components corresponents dins del bucle dels elements.

Inicialitzeu el vector global de forces internes Q a 0: Q_{i_g} = 0  (i_g = 1, ..., n_g)
for e = 1 to (nombre d’elements)
    for α = 1 to n_e
        i_g = gdx(e, α)
        Q_{i_g} += Q^e_α
    end for
end for

El vector global de forces externes \(\boldsymbol{F}\) es construeix amb el mateix procediment. Aquesta operació d’afegir i emmagatzemar magnituds nodals dels elements en vectors i matrius numerats pel número global de node s’anomena assemblatge. Per a tensors de segon ordre associats a dos números de node (com les matrius de rigidesa), s’obté el mateix tipus d’assemblatge utilitzant el conjunt \(\mathcal{E}^2(i_g, i_h) = \{ (e, \alpha, \beta) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\ \mathrm{and}\ \mathrm{gdx}(e, \beta) = i_h \}\) (vegeu Matriu de rigidesa tangent per a la construcció concreta).

Equacions no lineals que cal resoldre

Substituint les forces internes i externes assemblades en el Principi del treball virtual, i utilitzant el fet que es compleix per a qualsevol funció de prova \(\delta\boldsymbol{u}^n\) que satisfaci les condicions de contorn geomètriques, s’obté

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}^n) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}^n) = \boldsymbol{0} \]

En el context de l’anàlisi incremental (Marc de l’anàlisi incremental), es restableix el subíndex temporal \(_{n+1}\) i s’omet el superíndex \(^n\) que denota el vector nodal global. L’equació que cal resoldre és aleshores

\[ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_{n+1}) - \boldsymbol{F}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = \boldsymbol{0} \]

Així, el problema de valors de contorn discretitzat de trobar el desplaçament nodal \(t_{n+1}\) en el temps \(\boldsymbol{u}_{n+1}\) es redueix a resoldre aquesta equació no lineal en desplaçament juntament amb les condicions de contorn geomètriques. La linealització de l’equació i la construcció de la matriu de rigidesa tangent es descriuen a Matriu de rigidesa tangent, i el mètode de solució iterativa, a Mètode de Newton-Raphson.

Temes relacionats

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status