Salta el contingut

Discretització del treball virtual intern

L'equació dels treballs virtuals en el temps \(t + \Delta t\) presentada a Marc de l'anàlisi incremental adopta dues formes, les formulacions de Lagrange actualitzat i Lagrange total, segons l'elecció de la configuració de referència. En aquest capítol, l'aproximació per elements finits introduïda a Funcions de forma i aproximació per elements finits i Derivades espacials de les funcions de forma s'utilitza per discretitzar espacialment el treball virtual intern de totes dues formulacions i obtenir els vectors de forces internes de l'element \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) i \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

Per a l'element \(e\), siguin els nodes constituents \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); siguin els desplaçaments \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), i ordenem el vector de desplaçaments nodals de l'element com \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). El desplaçament virtual \(\delta \boldsymbol{u}^e\) es defineix en el mateix ordre. El desplaçament dins de l'element s'interpola mitjançant les funcions de forma com \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Treball virtual intern en la formulació de Lagrange actualitzat

En la formulació de Lagrange actualitzat, en el temps \(t\) s'utilitza la configuració actual \({}^{t}\Omega\) com a configuració de referència, i el treball virtual intern s'escriu en termes de la tensió de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) i la part lineal de la deformació d'Almansi \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) com

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Cada component de \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) es pot expressar, utilitzant les coordenades de la configuració actual \(\boldsymbol{x}\), com una combinació lineal de les derivades de les funcions de forma \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) i els desplaçaments virtuals nodals \(\delta u^e_{i\alpha}\). En notació de Voigt, això es pot agrupar com

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

El bloc nodal \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) es forma disposant \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) segons la convenció de Voigt en una matriu de \(6 \times 3\), i \(\boldsymbol{B}_L\) és la matriu deformació-desplaçament per a la formulació UL. Substituint-ho en el treball virtual intern i traient \(\delta \boldsymbol{u}^e\) com a factor comú s'obté

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

Per a \(\boldsymbol{q}^e\), el bloc nodal \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) és la força interna de l'element \(\Omega^e\) que actua sobre el node constituent \(\alpha\).

Treball virtual intern en la formulació de Lagrange total

En la formulació de Lagrange total, s'utilitza la configuració inicial \(\Omega_0\) com a configuració de referència, i el treball virtual intern s'escriu en termes de la segona tensió de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) i la deformació de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) com

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

La variació \(\delta \boldsymbol{E}\) se separa en un terme lineal respecte del desplaçament virtual i un terme no lineal que conté productes amb el gradient de desplaçament actual \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

El terme lineal es pot escriure aplicant la mateixa regla d'ordenació que en la formulació UL a \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), obtenint el bloc nodal \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Només canvien les derivades constituents, de \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) a \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), a causa de la configuració de referència diferent; s'utilitza el mateix símbol que en la formulació UL. El terme no lineal utilitza productes del gradient de desplaçament actual \(\partial u_k/\partial X_j\) i \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), disposats segons la convenció de Voigt per formar el bloc nodal \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Així, \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), i \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) és la matriu deformació-desplaçament per a la formulació TL. Substituint-ho en el treball virtual intern s'obté

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

El bloc nodal \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) és la força interna de l'element \(\Omega^e_0\) que actua sobre el node constituent \(\alpha\).

Correspondència entre UL/TL i el flux de càlcul

Els vectors de forces internes dels elements en les formulacions de Lagrange actualitzat i Lagrange total es corresponen de la manera següent.

Element Formulació de Lagrange actualitzat Formulació de Lagrange total
Configuració de referència Configuració actual \({}^{t}\Omega^e\) Configuració inicial \(\Omega^e_0\)
Tensor de tensions Tensió de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) Segona tensió PK \(\boldsymbol{S}\)
Variació de deformació \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) \(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Matriu B \(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\)) \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Força interna de l'element \(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) \(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

Totes dues es processen mitjançant el mateix procediment: construir \(\boldsymbol{B}_L\) a partir de les derivades espacials de les funcions de forma; en la formulació TL, construir i afegir \(\boldsymbol{B}_{NL}\) a partir del gradient de desplaçament actual; actualitzar la tensió (\(\boldsymbol{\sigma}\) o \(\boldsymbol{S}\)) segons la llei constitutiva; i integrar numèricament \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) o \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) sobre el domini de l'element als punts d'integració (Integració numèrica). Excepte pel canvi de configuració de referència (coordenades nodals i construcció de la matriu \(\boldsymbol{B}\)) i la substitució del tensor de tensions, el processament és comú, de manera que FrontISTR implementa els càlculs de forces internes de totes dues formulacions mitjançant subrutines comunes. L'assemblatge dels vectors de forces internes dels elements \(\boldsymbol{q}^e\) i \(\boldsymbol{Q}^e\) en el vector global de forces internes es tracta a Treball virtual extern i assemblatge de les equacions globals.

Temes relacionats

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status