Derivades espacials de les funcions de forma¶

Les funcions de forma \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) introduïdes a Funcions de forma i aproximació per elements finits es donen com a funcions de les coordenades naturals \(\boldsymbol{r}\), que són les coordenades locals d’un element. D’altra banda, mitjançant la relació deformació-desplaçament, els integrands de la forma feble contenen derivades parcials respecte de les coordenades físiques (la configuració de referència \(\boldsymbol{X}\) o la configuració actual \(\boldsymbol{x}\)), és a dir, \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) o \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). Aquesta secció organitza el procediment per calcular aquestes derivades espacials de les funcions de forma a partir de les coordenades nodals de l’element i de les derivades respecte de les coordenades naturals.

Expressió de les derivades espacials mitjançant la regla de la cadena¶

Aplicant la regla de la cadena a la fórmula d’interpolació \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (secció anterior) i utilitzant la matriu jacobiana \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) de la transformació de coordenades naturals a coordenades físiques, s’obté

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Aquí, \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) i \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) són matrius en què la fila \(\alpha\) representa el vector de derivades parcials del node \(\alpha\); cadascuna és una matriu \(n_e \times 3\).

Construcció de la matriu jacobiana¶

Derivant la fórmula d’interpolació respecte de \(\boldsymbol{r}\) s’obté

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Així, la matriu jacobiana es pot construir directament a partir de les coordenades nodals de l’element \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) i de les derivades respecte de les coordenades naturals \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Les derivades respecte de les coordenades naturals estan determinades per la forma funcional de les funcions de forma i s’implementen prèviament per a cada tipus d’element.

El determinant de la matriu jacobiana \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) s’utilitza a la integració numèrica per transformar l’element de volum com \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Si el determinant esdevé \(0\), l’element és degenerat i el càlcul falla.

Flux de càlcul¶

De la derivació anterior, el càlcul de les derivades espacials \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) es pot dividir en les quatre etapes següents.

Calcular les derivades respecte de les coordenades naturals: utilitzant com a entrada el tipus d’element i les coordenades naturals \(\boldsymbol{r}\) del punt d’avaluació, calculeu la matriu de derivades respecte de les coordenades naturals \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Com que la forma funcional de les funcions de forma varia segons el tipus d’element, el processament es ramifica segons el tipus d’element.
Calcular la matriu jacobiana: a partir de les coordenades nodals de l’element \(\boldsymbol{X}^e\) i \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\), munteu la matriu jacobiana \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) mitjançant l’equació de la secció anterior.
Calcular la matriu inversa i el determinant: calculeu la inversa \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) i el determinant de la matriu jacobiana. El determinant s’utilitza en la ponderació de la integració numèrica.
Calcular les derivades espacials: a partir de \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) i \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\), obteniu les derivades espacials \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) com el seu producte.

Aquestes quatre etapes es ramifiquen segons el tipus d’element i la dimensió espacial (dues o tres dimensions), però el flux general és comú.

Tractament comú de les configuracions de referència i actual¶

El procediment anterior també es pot aplicar simplement substituint \(\boldsymbol{X}^e\) per les coordenades nodals actuals \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\) per obtenir les derivades espacials \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) en la configuració actual. Així, el mateix procediment es pot compartir entre les formulacions lagrangiana total i lagrangiana actualitzada canviant només les coordenades nodals d’entrada.

Temes relacionats¶

Funcions de forma i aproximació per elements finits — Definició de les funcions de forma i de les coordenades nodals dels elements
Discretització del treball virtual intern — Construcció de la matriu B a partir de les derivades espacials
Integració numèrica — Ús del determinant jacobià en la quadratura de Gauss