Funcions de forma i aproximació per elements finits¶

Per tractar computacionalment la forma feble del principi del treball virtual, el domini del cos es divideix en un nombre finit d’elements, i les coordenades dels punts materials, el desplaçament i la funció de prova dins de cada element s’interpolen a partir dels valors nodals i de les funcions de forma. Les derivades espacials de les funcions de forma es tracten a Derivades espacials de les funcions de forma, la discretització de la forma feble a Discretització del treball virtual intern, i les formes concretes de les funcions de forma per a cada tipus d’element a Sistema de numeració d’elements i biblioteca de funcions de forma i a les seccions següents.

Partició del domini i sumes d’integrals per element¶

El domini \(\Omega_0\) en la configuració de referència i el domini \(\Omega\) en la configuració actual s’aproximen mitjançant les unions dels elements \(\Omega^e_0\) i \(\Omega^e\), respectivament:

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) és el número de l’element, i les fronteres dels elements són compartides pels elements adjacents.) Això descompon les integrals de volum i de superfície del principi del treball virtual en sumes d’integrals sobre elements individuals:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(El mateix s’aplica a la configuració actual substituint \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) i \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) D’ara endavant, l’avaluació de la forma feble es redueix a construir integrals element per element.

Interpolació mitjançant valors nodals i funcions de forma (elements isoparamètrics)¶

A cada element \(\Omega^e_0\) se li assignen \(n_e\) nodes. Siguin \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) les coordenades en la configuració de referència i els desplaçaments nodals del node de l’element \(\alpha = 1, \ldots, n_e\). Els vectors nodals de l’element \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) i \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) es formen ordenant aquests valors; per a l’element \(e\), només contenen els components dels nodes que constitueixen l’element, extrets dels vectors nodals globals \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) és el nombre total de nodes).

Utilitzant com a paràmetres les coordenades naturals \(\boldsymbol{r}\), que són coordenades locals dins de l’element, les funcions de forma \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) interpolen les coordenades materials, el desplaçament i la funció de prova dins de l’element utilitzant les mateixes funcions de forma (element isoparamètric i mètode de Galerkin):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Les funcions de forma es construeixen perquè satisfacin les dues propietats següents, i la geometria de l’element es tria de manera que l’aplicació \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) de les coordenades naturals a les coordenades materials sigui unívoca dins de l’element:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) és el punt en coordenades naturals corresponent al node \(\alpha\), i \(\delta_{\alpha\beta}\) és la delta de Kronecker.) La primera equació garanteix la reproducció de la translació de cos rígid, i la segona garanteix que el valor interpolat coincideixi amb el valor nodal a cada node. Les formes concretes de \(n_e\) i \(N_\alpha^e\) per a cada tipus d’element es donen a Sistema de numeració d’elements i biblioteca de funcions de forma i a les seccions següents. Per evitar una notació feixuga, la dependència del tipus d’element es representa mitjançant el superíndex \(e\) de cada element.

Amb les regles d’interpolació anteriors, l’integrand de la forma feble es pot expressar únicament en termes dels valors nodals de l’element \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) i \(N_\alpha^e\). En canvi, la deformació es deriva del desplaçament interpolat i de la relació deformació-desplaçament, mentre que la tensió es deriva d’aquesta deformació i de la llei constitutiva del material; aquestes magnituds no s’interpolen directament a partir dels valors nodals. S’avaluen als punts d’integració dins de l’element (Integració numèrica).

Regla d’ordenació dels vectors nodals globals¶

Les magnituds físiques assignades als nodes es disposen en el vector nodal global en ordre ascendent de número de node → grau de llibertat. Si al node \(\alpha\) el component \(i\) del grau de llibertat es denota per \(u_{i\alpha}\), aleshores en tres dimensions (\(i=1,2,3\)) i en dues dimensions (\(i=1,2\)), respectivament,

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Les coordenades \(\boldsymbol{X}^n\) i la funció de prova \(\delta\boldsymbol{u}^n\) segueixen la mateixa ordenació. D’ara endavant, les derivacions en forma matricial i vectorial s’escriuen utilitzant el cas tridimensional com a representatiu.

Temes relacionats¶

Principi del treball virtual — Forma feble que cal discretitzar
Derivades espacials de les funcions de forma — Preparació del jacobià i de la matriu B
Sistema de numeració d’elements i biblioteca de funcions de forma — Funcions de forma per a cada tipus d’element