Fluència¶

Aquest capítol descriu la llei constitutiva de fluència adoptada per FrontISTR. Per obtenir detalls sobre la selecció i les especificacions d'entrada, consulteu la secció de funcions 03_material.

Fenomen de fluència i descomposició additiva de la deformació¶

El desplaçament dependent del temps sota una condició de tensió constant és un fenomen anomenat «fluència».

El comportament viscoelàstic descrit anteriorment també es pot considerar un tipus de fenomen de fluència lineal. Aquí es descriuen diversos comportaments de fluència no lineal. Un enfocament habitual és formular la relació constitutiva afegint aquest comportament a la deformació que es produeix instantàniament, i definir com a deformació de fluència \(\varepsilon^c\) la deformació acumulada mentre continua una càrrega constant determinada. Una relació constitutiva que inclou fluència normalment s'expressa mitjançant la velocitat de deformació de fluència \(\dot{\varepsilon}^c\), definida com una funció de la tensió i de la deformació de fluència total.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Si la deformació que es produeix instantàniament és la deformació elàstica \(\varepsilon^e\), la deformació total s'expressa com la suma següent, que inclou la deformació de fluència.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) és el tensor d'elasticitat).

Llei de Norton¶

Com a llei constitutiva concreta de fluència, FrontISTR adopta el model de Norton següent. En aquesta llei constitutiva, la velocitat de deformació de fluència equivalent \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) s'expressa com una funció de la tensió de von Mises \(q\) i del temps \(t\) de la manera següent.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Aquí, \(A\), \(m\) i \(n\) són constants del material.

Integració temporal i actualització de la tensió¶

Igual que amb els materials plàstics, per a una llei constitutiva que presenta fluència cal especificar un mètode numèric d'integració temporal. La relació constitutiva quan es considera la fluència és

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

on \(\beta_{n+\theta}\) és

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

L'increment de deformació de fluència \(\Delta \varepsilon^c\) es defineix aleshores mitjançant l'equació no lineal simplificada següent:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

que s'iguala a zero.

En la iteració de Newton-Raphson, prenent \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) com a tensió inicial i utilitzant l'increment de deformació obtingut pel mètode dels elements finits, la solució iterativa i l'increment venen donats per

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

amb Quan s'itera fins que el residu \(R\) esdevé \(\mathbf{0}\), la tensió \(\sigma_{n+1}\) i el mòdul tangent

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

s'utilitzen.

Temes relacionats¶

Viscoelasticitat — Comportament viscoelàstic corresponent a la fluència lineal
Matriu de rigidesa tangent — Rigidesa tangent per a l'anàlisi incremental que inclou fluència
Dades de material (Funcions) — Especificació dels paràmetres del model de Norton