Elastoplasticitat¶

Aquest capítol descriu el marc de la llei constitutiva elastoplàstica adoptada per FrontISTR. Per obtenir informació detallada sobre la selecció i les especificacions d'entrada, consulteu 03_material a la secció de funcions.

Fenomen (deformació plàstica)¶

TBD (es redactarà en la fase següent).

Marc de la llei constitutiva¶

FrontISTR adopta una equació constitutiva elastoplàstica basada en una regla de flux associada. A més, aquesta equació constitutiva expressa la relació entre la taxa de Jaumann de la tensió de Kirchhoff i el tensor de velocitat de deformació, i l'anàlisi de deformació aplica la formulació de Lagrange actualitzada.

Suposem que la condició de fluència d'un material elastoplàstic és la següent.

Condició inicial de fluència:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Condició de fluència posterior:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

\(F\): funció de fluència
\(\sigma_{y_0}\): tensió de fluència inicial
\(\sigma_y\): tensió de fluència posterior
\(\sigma\): tensor de tensions
\(e\): tensor de deformacions infinitesimals
\(e^p\): tensor de deformacions plàstiques
\(\overline{e}^p\): deformació plàstica equivalent

Se suposa que la relació tensió de fluència–deformació plàstica equivalent coincideix amb la relació tensió–deformació plàstica en estat uniaxial.

Relació tensió–deformació plàstica en estat uniaxial

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

on \(H'\) és el mòdul d'enduriment per deformació.

Relació tensió equivalent–deformació plàstica equivalent

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

En general, la funció de fluència posterior és una funció de la temperatura i del treball de deformació plàstica, però aquí, per simplicitat, se suposa que només és una funció de la deformació plàstica equivalent \(\overline{e}^p\). Durant l'evolució de la deformació plàstica, s'ha de continuar complint \(F = 0\) i, per tant, s'ha de satisfer l'equació següent.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Aquí, \(\dot{F}\) denota la derivada temporal de \(F\). D'ara endavant, la derivada temporal d'una magnitud \(A\) es denota per \(\dot{A}\).

Suposem l'existència d'un potencial plàstic \(\Theta\) i expressem la velocitat de deformació plàstica mitjançant l'equació següent.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Aquí, \(\dot{\lambda}\) és un coeficient.

A més, suposant que el potencial plàstic \(\Theta\) és igual a la funció de fluència \(F\), s'adopta la regla de flux associada següent.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Substituint aquesta equació en la condició de consistència s'obté l'equació següent.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Aquí, \(D\) és la matriu elàstica, i

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

La relació tensió–deformació elastoplàstica es pot escriure de la manera següent.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

Quan es coneix la funció de fluència \(F\) del material elastoplàstic, aquesta expressió permet obtenir-ne l'equació constitutiva.

Funcions de fluència¶

A continuació s'enumeren les funcions de fluència elastoplàstiques adoptades per FrontISTR.

Funció de fluència de Von Mises¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Aquí, \(J_2\) és el segon invariant del tensor de tensió desviadora.

Funció de fluència de Mohr-Coulomb¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Aquí, \(\sigma_1, \sigma_3\) són les tensions principals màxima i mínima, \(c\) és la cohesió i \(\phi\) és l'angle de fricció interna.

Funció de fluència de Drucker-Prager¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Aquí, les constants del material \(\alpha\) i \(\sigma_y\) es calculen a partir de la cohesió i l'angle de fricció del material de la manera següent.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Temes relacionats¶

Elasticitat lineal — Resposta elàstica (part elàstica de l'elastoplasticitat)
Matriu de rigidesa tangent — Rigidesa tangent per a l'anàlisi incremental amb no-linealitat del material
Dades de material (funcions) — Opcions i selecció de funcions de fluència i lleis d'enduriment