Salta el contingut

Elasticitat lineal

Aquest capítol tracta la llei constitutiva (llei de Hooke) dels materials elàstics lineals. Per obtenir informació detallada sobre la selecció del model i les especificacions d'entrada, consulteu la secció de funcions 03_material.

Fenomen (resposta elàstica lineal)

Un sòlid elàstic lineal és un material que, en un rang en què la deformació sota càrrega és prou petita, presenta una relació lineal entre tensió i deformació i una resposta reversible i independent de l'historial, de manera que tota la deformació desapareix en retirar la càrrega. A diferència de la plasticitat o la fluència lenta, no té variables internes d'estat (com ara deformació plàstica o deformació viscosa), i la tensió queda determinada unívocament només per la deformació actual.

En el règim de petites deformacions s'utilitzen la tensió de Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) i la deformació infinitesimal \(\boldsymbol{\varepsilon}\); en el règim de deformacions finites (problemes amb grans rotacions però en què la deformació mateixa continua sent petita) s'utilitzen la segona tensió de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) i la deformació de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (material de St.Venant-Kirchhoff).

Llei constitutiva

Material elàstic lineal isòtrop

En el règim de petites deformacions, la llei de Hooke isòtropa s'expressa amb les constants de Lamé \(\lambda, \mu\) com

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

En components,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

i la doble contracció amb la deformació dona \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Les constants de Lamé estan relacionades amb el mòdul de Young \(E\) i el coeficient de Poisson \(\nu\) de la manera següent:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

En notació de Voigt, la relació entre el vector de deformacions \(\hat{\varepsilon}\) i el vector de tensions \(\hat{\sigma}\) s'escriu \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), i la matriu de material tridimensional \(D\) és

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

(aquesta representació matricial és la que s'utilitza a la implementació).

Material elàstic lineal ortòtrop

Per als materials en què les constants elàstiques difereixen segons la direcció dels eixos principals, s'adopta un model ortòtrop amb nou constants independents: els mòduls de Young en les direccions principals \(E_1, E_2, E_3\), els coeficients de Poisson entre eixos principals \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) i els mòduls de cisallament \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). Per a la forma explícita de la matriu \(D\), consulteu referències estàndard.

Règim de deformacions finites: material de St.Venant-Kirchhoff

Per a problemes que inclouen grans rotacions però en què la deformació mateixa és petita, s'adopta el material de St.Venant-Kirchhoff com a llei elàstica lineal entre la segona tensió de Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) i la deformació de Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Les definicions de les constants de Lamé \(\lambda, \mu\) són les mateixes que en el cas de petites deformacions. Tanmateix, com que el parell tensió-deformació es defineix de manera diferent, cal tenir present que es tracta d'una llei constitutiva diferent de la llei de Hooke per a petites deformacions.

Material hipoelàstic

En el mètode de Lagrange actualitzat s'utilitza un material hipoelàstic que adopta la llei elàstica lineal entre la taxa de Jaumann del tensor de tensió relativa de Kirchhoff \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) i el tensor de velocitat de deformació \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

També aquí, la definició de \(\boldsymbol{C}\) mitjançant les constants de Lamé és la mateixa que l'anterior, però, com que el parell tensió-deformació és diferent, es tracta d'una altra llei constitutiva. Per obtenir informació detallada sobre l'actualització de \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) mitjançant el procediment d'integració temporal (integració d'Euler endavant i aproximació per diferències centrals), consulteu tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Reducció per a anàlisis bidimensionals i elements de closca

Tensió plana (\(\sigma_{33} = 0\))

En tensió plana, que representa la càrrega de plaques primes i closques, se suposa \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) i la component de deformació fora del pla \(\varepsilon_{33}\) s'elimina algebraicament per obtenir la matriu \(D\):

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Deformació plana (\(\varepsilon_{33} = 0\))

En deformació plana, que representa la secció transversal d'una estructura llarga restringida en la direcció del gruix, se suposa \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Axisimetria

En coordenades cilíndriques \((r, \theta, z)\), una anàlisi axisimètrica tracta problemes uniformes en la direcció \(\theta\) i es conserven les quatre components \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) i \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), i

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

és la matriu resultant.

Elements de closca (tensió plana + cisallament transversal)

En els elements de closca, les tensions en el pla es tracten com a tensió plana i, per a les components de deformació de cisallament transversal \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\), s'aplica el factor de correcció de cisallament \(\kappa\) (normalment \(\kappa = 5/6\)) i s'utilitza \(\kappa\, G\). Per a la formulació detallada de cada element, consulteu Formulacions avançades d'elements. L'especificació de la secció de funcions 03_material segons la qual «els elements de closca només admeten elasticitat lineal» es basa en aquesta simplificació, que tracta l'estat en el pla com a tensió plana.

Dependència de la temperatura

El mòdul de Young \(E\), el coeficient de Poisson \(\nu\) i el coeficient de dilatació lineal \(\alpha\) s'especifiquen generalment com a funcions de la temperatura \(T\). A FrontISTR s'introdueixen els valors corresponents a una seqüència finita de punts de temperatura \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), i la temperatura \(T\) durant el càlcul s'avalua mitjançant interpolació lineal entre punts adjacents. Per a temperatures fora de l'interval (\(T < T_1\) o \(T > T_n\)), s'utilitza el valor de l'extrem més proper, \(T_1\) o \(T_n\), com a extrapolació (extrapolació constant).

Per a la dependència de la temperatura de les propietats tèrmiques i de conducció (densitat, calor específica i conductivitat tèrmica), consulteu Propietats tèrmiques. Les regles d'interpolació són comunes a aquestes propietats.

Temes relacionats

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status