Salta el contingut

Anàlisi estàtica elàstica lineal (introducció)

Aquí es presenta la formulació de l'anàlisi estàtica elàstica basada en la teoria de petites deformacions. Se suposa elasticitat lineal per a la relació tensió-deformació. Aquest capítol té caràcter introductori per comprendre l'estructura global de l'anàlisi estructural pel mètode dels elements finits i està organitzat perquè es pugui llegir de manera autònoma.

Per a la teoria general del principi dels treballs virtuals (forma en la configuració actual, forma en la configuració inicial i reducció a petites deformacions), consulteu Principi dels treballs virtuals; per als detalls de la llei constitutiva elàstica lineal, Elasticitat lineal; per a les convencions de notació tensorial i de Voigt, Notació tensorial i fonaments matemàtics; per a la formulació general de deformacions finites, Moviment, deformació i deformació unitària; i per als mètodes de solució de problemes no lineals, Matriu de rigidesa tangent.

Equacions bàsiques

Sota les hipòtesis de petites deformacions i elasticitat lineal, el problema de valors de contorn de la mecànica de sòlids està format per l'equació d'equilibri, les condicions de contorn mecàniques i les condicions de contorn geomètriques (condicions essencials) (vegeu la figura 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{in} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{on} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Aquí, \(\boldsymbol{\sigma}\) és la tensió de Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) és la força de volum per unitat de volum, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) és la tracció superficial prescrita, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) és el desplaçament prescrit, i \(S_t, S_u\) són els contorns mecànic i geomètric.

Problema de valors de contorn en mecànica de sòlids (problema de petites deformacions)

Figura 2.1.1 Problema de valors de contorn en mecànica de sòlids (problema de petites deformacions)

Utilitzant l'operador de gradient simètric, la relació deformació-desplaçament és

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

La llei constitutiva elàstica lineal és

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

on \(\boldsymbol{C}\) és el tensor d'elasticitat de quart ordre.

Principi dels treballs virtuals

Les formes generals del principi dels treballs virtuals (forma en la configuració actual, forma en la configuració inicial i reducció a petites deformacions) es resumeixen a Principi dels treballs virtuals. Sota les hipòtesis de petites deformacions i elasticitat lineal, la forma feble és

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{on} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Substituint la llei constitutiva \eqref{eq:2.1.5} i escrivint \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) en notació de Voigt, s'obté la forma utilitzada directament per a la discretització:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

on \(D\) és la matriu elàstica definida a Elasticitat lineal. Les equacions \eqref{eq:2.1.10} i \eqref{eq:2.1.7} constitueixen el principi dels treballs virtuals que es discretitza a continuació.

Discretització i assemblatge de l'equació global

Discretitzant el principi dels treballs virtuals de l'equació \( \eqref{eq:2.1.10} \) per elements finits s'obté

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

Per a cada element, el camp de desplaçaments s'interpola utilitzant els desplaçaments dels nodes que constitueixen l'element de la manera següent.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

La deformació es dona llavors, utilitzant l'equació \(\eqref{eq:2.1.4}\), per

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Substituint les equacions \(\eqref{eq:2.1.12}\) i \(\eqref{eq:2.1.13}\) a l'equació \(\eqref{eq:2.1.11}\), s'obté

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

L'equació \(\eqref{eq:2.1.14}\) es pot escriure com

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Aquí, les components de la matriu i del vector definits per les equacions \(\eqref{eq:2.1.16}\) i \(\eqref{eq:2.1.17}\) es poden calcular per a cada element finit i assemblar per superposició.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Com que l'equació \(\eqref{eq:2.1.15}\) és vàlida per a qualsevol desplaçament virtual \(\delta \boldsymbol{U}\), s'obté

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

D'altra banda, la condició de contorn de desplaçament de l'equació \(\eqref{eq:2.1.3}\) s'expressa com

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Resolent l'equació \(\eqref{eq:2.1.18}\) subjecta a la condició de restricció \(\eqref{eq:2.1.19}\), es pot determinar el desplaçament nodal \(\boldsymbol{U}\).

Temes relacionats

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status