Iteració no lineal i integració temporal¶

FrontISTR fa avançar la solució combinant iteracions no lineals i integració temporal a cada subpas dins del control d'increments de cada pas. Aquesta pàgina descriu les estructures iteratives situades entre el control de passos exterior i el solver lineal interior: iteracions de Newton-Raphson, iteracions de contacte, integració temporal per a l'anàlisi dinàmica i el marc d'avanç temporal i iteració no lineal en conducció tèrmica transitòria.

Visió general¶

La solució no lineal i la integració temporal dins d'un pas tenen una estructura imbricada formada per diversos bucles, de l'exterior cap a l'interior. Cada capa té la funció següent.

Les capes que apareixen depenen del tipus d'anàlisi.

Per saber com seleccionar el tipus i l'algoritme de contacte, consulteu Contacte i encastament. Aquesta pàgina descriu com l'algoritme seleccionat s'organitza com un bucle iteratiu.

Selecció de l'esquema de solució¶

L'estructura iterativa es determina automàticament a partir del tipus d'anàlisi seleccionat (Tipus d'anàlisi), la presència o absència de no-linealitat (no-linealitat geomètrica, no-linealitat del material o contacte) i l'algoritme de contacte (SLAGRANGE o ALAGRANGE). L'usuari ajusta directament els límits superiors del nombre d'iteracions i els criteris de convergència.

Les directrius següents s'apliquen quan s'ajusten aquests paràmetres.

• Per a anàlisis estàndard, el límit superior per defecte del nombre d'iteracions sol ser suficient. Si un problema difícil de fer convergir arriba al nombre màxim d'iteracions sense convergir, utilitzeu primer el cutback (Control de passos); augmenteu el límit superior només si això no millora la convergència.
• Ajusteu els criteris de convergència equilibrant l'estabilitat de l'anàlisi i el temps de càlcul. Criteris més estrictes milloren la precisió de l'equilibri però augmenten el nombre d'iteracions. En anàlisis de contacte i anàlisis amb multiplicadors de Lagrange, combinar el criteri d'increment de desplaçament o de Lagrange amb el criteri de residu pot millorar l'estabilitat.
• Per als paràmetres d'integració temporal en anàlisi dinàmica (els coeficients de Newmark-β), comenceu amb una combinació estàndard de valors i ajusteu-los quan vulgueu modificar les característiques d'amortiment numèric de la resposta vibratòria.
• Per a l'esquema d'integració temporal en conducció tèrmica transitòria, utilitzeu Crank-Nicolson per a problemes amb canvis de temperatura suaus i Euler enrere quan siguin més importants els canvis bruscos o l'estabilitat a llarg termini.

Iteració de Newton-Raphson en anàlisi estàtica¶

En anàlisi estàtica no lineal, les equacions d'equilibri que contenen no-linealitat geomètrica o del material es resolen iterativament amb el mètode de Newton-Raphson. Cada iteració procedeix de la manera següent.

1. Avalueu el vector de residu \(\boldsymbol{R}\) a la solució actual.
2. Assembleu la matriu de rigidesa tangent \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Resoleu el sistema lineal \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\) per obtenir la correcció de desplaçament \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. Actualitzeu la solució com \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Compareu amb els criteris de convergència. Si s'ha assolit la convergència, finalitzeu la iteració; en cas contrari, torneu al pas 1.

El solver lineal executa la solució del sistema lineal (pas 3). Per a la selecció del solver i del precondicionador, consulteu Solver i precondicionament.

La iteració es controla mitjançant els paràmetres de control de passos de !STEP. Els principals valors de control són els següents.

El nombre màxim d'iteracions de Newton al qual fan referència les decisions d'increment automàtic i cutback de Control de passos és el nombre d'iteracions de Newton descrit en aquesta pàgina. El control d'increments automàtics augmenta l'increment de temps després d'un subpas que ha convergit en poques iteracions i el redueix després d'un subpas que n'ha necessitat moltes.

Iteració de contacte en anàlisi estàtica¶

En l'anàlisi de contacte, l'estat de contacte canvia durant la iteració a causa del contacte, la separació i el lliscament a les superfícies de contacte, de manera que la iteració de Newton es combina amb actualitzacions de l'estat de contacte. L'estructura depèn de l'algoritme de solució del contacte.

Tots dos algoritmes situen un bucle de cerca de l'estat de contacte al nivell més exterior. En cada passada d'aquest bucle, l'estat de contacte (contacte/separació) es torna a avaluar després que hagi convergit la iteració de Newton interior. Si l'estat ha canviat, s'actualitza l'estructura de la matriu de rigidesa i es torna a executar la iteració interior. El bucle finalitza quan l'estat de contacte no canvia respecte de la passada anterior i es compleixen els criteris de convergència del contacte (criteris de força de contacte i de multiplicador de Lagrange). El límit superior del nombre de passades s'especifica amb MAXCONTITER de !STEP.

Amb contacte SLAGRANGE, els graus de llibertat de contacte s'incorporen al sistema lineal mitjançant el mètode estàndard dels multiplicadors de Lagrange, donant una estructura de dues capes en què la iteració de Newton es col·loca directament dins del bucle de cerca de l'estat de contacte. No hi ha cap iteració de Lagrange augmentat.

Amb contacte ALAGRANGE, s'afegeix una iteració de Lagrange augmentat dins del bucle de cerca de l'estat de contacte, i la iteració de Newton s'executa al seu interior, donant una estructura de tres capes. A cada iteració de Lagrange augmentat, la restricció de contacte es torna a avaluar mitjançant una combinació del terme de penalització i del multiplicador de Lagrange, millorant progressivament la precisió de la restricció. El límit superior del nombre d'iteracions de Lagrange augmentat s'especifica amb AUGITER de !CONTACT_ALGO.

Els valors de control per a la iteració de contacte són els següents.

El nombre d'iteracions de contacte al qual fan referència les decisions d'increment automàtic de Control de passos és el nombre d'iteracions descrit en aquesta pàgina, incloses les actualitzacions de l'estat de contacte. Les anàlisis en què el contacte i la separació es produeixen sovint tendeixen a requerir més iteracions de contacte, cosa que també afecta les decisions d'increment automàtic i cutback. Per als tipus de contacte, les definicions de parelles i la selecció de l'algoritme, consulteu Contacte i encastament. Per saber com es resol el sistema lineal que conté graus de llibertat de contacte, consulteu Solver i precondicionament.

Integració temporal en anàlisi dinàmica (mètode implícit)¶

El mètode implícit per a l'anàlisi dinàmica utilitza el mètode de Newmark-β per relacionar el desplaçament, la velocitat i l'acceleració al temps següent de cada pas temporal i combina aquestes relacions amb l'equació del moviment per obtenir l'estat al temps \(t + \Delta t\). La restricció d'estabilitat sobre el pas de temps \(\Delta t\) és poc severa, cosa que permet resoldre eficientment respostes estructurals dominades per components de baixa freqüència.

S'utilitzen els dos paràmetres d'integració temporal següents.

La combinació \(\beta = 1/4\) i \(\gamma = 1/2\) s'anomena mètode de l'acceleració mitjana i és una opció estàndard incondicionalment estable i sense amortiment numèric. Per introduir amortiment numèric, trieu \(\gamma\) superior a \(1/2\). Per als detalls matemàtics de les combinacions de paràmetres, l'estabilitat i les característiques d'error, consulteu el manual teòric.

Quan s'inclou no-linealitat (no-linealitat geomètrica, no-linealitat del material o contacte), s'executa una iteració de Newton dins de cada pas temporal; el sistema lineal es resol dins de la iteració i s'actualitza l'estat. Els criteris de convergència utilitzen CONVERG i valors relacionats compartits amb l'anàlisi estàtica. En anàlisi dinàmica amb contacte, dins de cada pas temporal s'incorpora la mateixa estructura iterativa que a Iteració de contacte en anàlisi estàtica.

El pas de temps en anàlisi dinàmica es controla principalment mitjançant les condicions temporals de !STEP. Amb increments fixos, !STEP especifica DTIME com a pas de temps i ETIME com a durada del pas. Els valors n_step i t_delta de !DYNAMIC es tracten com a valors per defecte quan s'omet !STEP i per compatibilitat retroactiva. En el mètode implícit no lineal, !STEP amb INC_TYPE=AUTO habilita els increments automàtics i el cutback, augmentant o disminuint el pas de temps segons l'estat de les iteracions de Newton i de contacte. Tant si s'utilitzen increments fixos com automàtics, configureu el pas de temps tenint en compte tant la convergència com la precisió necessària.

Integració temporal en anàlisi dinàmica (mètode explícit)¶

El mètode explícit per a l'anàlisi dinàmica utilitza el mètode de diferències centrals per calcular directament l'estat al temps següent només a partir de la informació de desplaçament, velocitat i acceleració del temps anterior. Com que no es resol cap sistema d'equacions simultànies, el cost computacional per pas és baix. Fins i tot quan s'inclou no-linealitat, cada pas temporal és una actualització d'una sola etapa sense iteració de Newton.

El pas de temps té un límit superior imposat per una condició d'estabilitat basada en el període natural mínim del sistema (condició CFL). Un pas de temps superior a aquest límit fa divergir la solució numèrica, de manera que no es poden utilitzar passos de temps grans com els possibles amb el mètode implícit. El mètode explícit és avantatjós per a fenòmens com impactes, propagació d'ones i contacte d'alta velocitat, on de manera inherent calen passos de temps petits.

Quan s'inclou contacte, s'utilitza el mètode Forward Increment Lagrange per imposar les restriccions de contacte. Les forces de contacte s'avaluen de manera coherent amb l'actualització d'una sola etapa del mètode explícit.

Mètode de solució per a l'anàlisi de resposta en freqüència¶

L'anàlisi de resposta en freqüència obté directament la resposta estacionària periòdica en el domini de la freqüència mitjançant el mètode de superposició modal. Avalua la resposta variant la freqüència d'excitació i no necessita seguir un historial temporal mitjançant iteracions. No s'executen ni iteracions no lineals ni integració temporal.

Abans de poder fer una anàlisi de resposta en freqüència, cal executar una anàlisi modal per al mateix sistema i extreure el nombre necessari de modes naturals. Només s'admeten models lineals; l'anàlisi no es pot executar quan s'habilita no-linealitat geomètrica o del material. Per a la posició d'aquest tipus d'anàlisi, consulteu Tipus d'anàlisi.

Avanç temporal i iteració no lineal en conducció tèrmica transitòria¶

La conducció tèrmica transitòria té el seu propi bucle temporal, completat dins de !HEAT. El pas de temps es controla per una via separada del !STEP i !AUTOINC_PARAM de l'anàlisi estructural i, quan les propietats del material depenen de la temperatura, s'executa una iteració no lineal dins de cada pas temporal.

L'esquema d'integració temporal se selecciona amb el paràmetre \(\beta\) de !HEAT.

El pas de temps es controla adaptativament combinant el pas de temps inicial, el pas de temps mínim i el canvi màxim de temperatura per pas. Si el canvi de temperatura supera DELTMX després del càlcul d'un pas temporal, es redueix el pas de temps i es recalcula el pas. L'anàlisi s'interromp si el pas de temps cau per sota del pas de temps mínim DTMIN.

Quan les propietats del material depenen de la temperatura, s'executa una iteració no lineal dins de cada pas temporal. La iteració es controla de la manera següent.

La conducció tèrmica estacionària no utilitza passos temporals; només s'executa iteració no lineal quan les propietats del material depenen de la temperatura. Com que el control temporal de l'anàlisi de conducció tèrmica és independent del !STEP de l'anàlisi estructural, reviseu els paràmetres de !HEAT quan ajusteu el pas de temps.

Temes relacionats¶

• Tipus d'anàlisi — Posicionament de cada tipus d'anàlisi.
• Contacte i encastament — Selecció dels tipus de contacte, definicions de parelles i algoritmes de solució.
• Solver i precondicionament — Solució de les equacions lineals simultànies cridades dins de la iteració de Newton.
• Control de passos — Control exterior de passos/subpassos i increments automàtics/cutback.
• Mètode de Newton-Raphson (teoria) — Formulació del mètode de solució iteratiu.
• Criteris de convergència (teoria) — Definicions matemàtiques dels indicadors de convergència.
• Mètodes d'anàlisi dinàmica (teoria) — Formulació dels mètodes de Newmark-β i de diferències centrals.
• Anàlisi de conducció tèrmica transitòria (teoria) — Formulació de la integració temporal per a la conducció tèrmica.
• Anàlisi de contacte (teoria) — Formulació del mètode dels multiplicadors de Lagrange.
• Referència de paraules clau: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.