Проверка с модел с проста геометрия¶

Линеен еластичен статичен анализ¶

За тази проверка се използва конзолна греда с мрежа, показана на Фигура 9.1.1. Извършени са анализи за седем случая, от exA до exG, при различни условия на натоварване, както е показано на Фигура 9.1.2. Случаят exG има същите условия на натоварване като exA, но използва директен решател.

Резултатите от проверката за всяко условие на натоварване са представени в Таблици 9.1.1–9.1.7.

Фиг. 9.1.1 Примерна мрежа на конзолна греда (хексаедрични елементи)

	(a) exA, G: Концентриран товар
	(b) exD: Гравитация
	(c) exB: Повърхностно разпределен товар
	(d) exE: Центробежна сила
	(e) exC: Обемен товар
	(f) exF : Топлинен товар

Нелинеен статичен анализ¶

(2-1) exnl1: Геометрично нелинеен анализ¶

Моделът за проверка за случая exI е идентичен с моделите за случаите от exA до exG. Фигура 9.1.3 показва схема на модела за проверка. За този модел се извършва геометрично нелинеен анализ. Резултатите от проверката са показани в Таблица 9.1.8.

Нелинейното изчисление използва 10 стъпки на натоварване с прираст 0.1P до крайното натоварване 1.0P.

Фиг. 9.1.3 Модел за проверка

(2-2) exnl2: Анализ на еластопластични деформации¶

Тази задача за проверка се основава на тест NL1 на National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.) от NAFEMS, и се извършва анализ на еластопластични деформации, включващ геометрична нелинейност и няколко закона за уякчаване. Фигура 9.1.4 показва модела за анализ.

Фиг. 9.1.4 Модел за анализ на еластопластични деформации

(1) Условия за проверката

(2) Гранични условия

Всички възли, които не са изброени тук, са напълно закрепени. Теоретичното решение за тази задача е следното.

За сравнение резултатите от изчислението са следните.

Контактен анализ (1)¶

Тази задача за проверка се основава на контактния тест CGS-4 на National Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.), и проверява възможността за контакт с крайно приплъзване и триене. Фигура 9.1.5 показва модела за анализ.

Фиг. 9.1.5 Модел за контактен анализ

Условието за равновесие за тази задача е следното.

В етапа на сцепление без приплъзване силата на триене е [ f_{c} = E_{t}\text{Δu} ] а в етапа на приплъзване тя е [ f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha) ] .

Сравнението между резултатите от изчислението и аналитичното решение е следното.

Контактен анализ (2): контактна задача на Hertz¶

При тази проверка се анализира контактната задача на Hertz между безкрайно дълъг цилиндър и безкрайна равнина. Радиусът на цилиндъра е R=8mm, а модулът на Young E и коефициентът на Poisson µ на деформируемото тяло са съответно 1100Mpa и 0.0. Приема се, че контактната област е достатъчно малка спрямо радиуса на цилиндъра, и с оглед на симетрията на задачата се анализира модел на една четвърт от цилиндъра.

Фиг. 9.1.6 Модел за анализ на контактната задача на Hertz

(1) Резултати от проверката на контактния радиус¶

Теоретичната формула за изчисляване на контактния радиус е следната:

където [ E^{*} = E/2(1 - \mu^{2}) ] . При настоящите условия на изчисление, когато натискът е \(F=100\), контактният радиус е \(a=1.36\).

Фигура 9.1.7 показва еквивалентните възлови сили в контактните точки. Контактният радиус се получава чрез екстраполация на това разпределение на възловите сили.

Фиг. 9.1.7 Разпределение на еквивалентните възлови сили в контактните точки

(2) Резултати от проверката за максималното срязващо напрежение¶

В теоретичното решение, в контактното положение [ z = 0.78a ] максималното срязващо напрежение е [ \tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}} ] . При настоящите условия на изчисление, [ \tau_{\max} = 14.2 ] . За сравнение изчислението дава [ \tau_{\max} = 15.6 ] .

Фиг. 9.1.8 Разпределение на срязващото напрежение (максимална стойност = 15.6)

(3) Модален анализ¶

Моделите за проверка за случаите exJ и exK са идентични с моделите за случаите от exA до exG. Фигура 9.1.9 показва схема на модела за проверка. За този модел се извършва модален анализ. Изчисляват се собствените стойности от първа до трета. Случаят exJ използва итерационен решател, докато случаят exK използва директен решател. Резултатите от проверката са показани в Таблици 9.1.9 до 9.1.12.

Фиг. 9.1.9 Модел за проверка

Собствените честоти на конзолната греда се получават от следните уравнения.

Първи мод [ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Втори мод [ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ] Трети мод [ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } ]

Стойностите на характеристиките на модела за проверка са

Следователно собствените стойности до третия мод са следните:

Забележка) При тримерните (3D) модели първата и втората стойност имат равни корени. Поради това втората стойност в таблицата представлява третата изчислена стойност.

Забележка) При 3D моделите първата и втората стойност имат равни корени. Поради това втората стойност в таблицата представлява третата изчислена стойност.

(4) Анализ на топлопроводност¶

Общите условия за стационарните анализи на топлопроводност са показани на Фигура 9.1.10. Индивидуалните условия за случаите за проверка от exM до exT са показани на Фигура 9.1.11. Разделянето на мрежата е еквивалентно на използваното за exA.

Резултатите от проверката (таблица на температурното разпределение) за всеки случай са представени в Таблици 9.1.13–9.1.20.

Температурна зависимост на топлопроводността

exM: Линеен материал
exN: Задача със зададена температура
exO: Задача с концентриран топлинен поток
exP: Задача с разпределен топлинен поток
exQ: Задача с конвективен топлообмен
exR: Задача с лъчист топлообмен
exS: Задача с обемно топлоотделяне
exT: Задача с вътрешна междина

(5) Линеен динамичен анализ¶

В exW се извършва линеен динамичен анализ на същата конзолна греда като в точка (1). Фигура 9.1.12 показва условията за проверка. При едно и също разделяне на мрежата се проверява влиянието на прираста на времето върху резултатите. Използват се както неявен, така и явен метод за интегриране по време с типове елементи 361 и 342. Резултатите от проверката са показани в Таблица 9.1.22 и Фигури 9.1.13 до 9.1.15.

Теоретичното решение за преместването на точката на трептене е следното:

където

Условия за проверка:

Анализ на честотния отклик¶

При тази проверка се извършва анализ на честотния отклик на конзолна греда и се валидира чрез сравнение с резултатите от универсален търговски решател. Моделът за анализ и условията за проверка са показани по-долу.

Условия за анализ:

Собствените стойности до пети ред и честотният отклик на точките на трептене, получени от анализа на собствените стойности, са следните: