Към съдържанието

Анализ на нестационарна топлопроводност

В този раздел са представени времевата дискретизация и итерационният метод за решаване на анализа на топлопроводност в твърди тела чрез метода на крайните елементи (FEM). За управляващите уравнения и граничните условия на континуума вижте Уравнение на топлопроводността.

Дискретизирано уравнение (изходна точка)

Дискретизирането на уравнението на топлопроводността (уравнение на топлопроводността (gov_he_main)) по метода на Галеркин дава

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

където

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Тук \(K\), \(M\), \(F\) и \(N\) са съответно матрицата на топлопроводност (включително приноса на конвективните и радиационните гранични условия), матрицата на масите, векторът на топлинното натоварване и матрицата на функциите на формата. Определенията на символите за свойствата на материала (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) и др.) следват Уравнение на топлопроводността.

Времева дискретизация и итерационно решение

Уравнение \(\eqref{eq:2.4.8}\) е нелинейно нестационарно уравнение. При времева дискретизация с обратния метод на Ойлер, ако температурата в момент \(t=t_0\) е известна, температурата в момент \(t=t_0+\Delta t\) се изчислява от следното уравнение.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Нека подобрим температурния вектор \(\eqref{eq:2.4.13}\), който приблизително удовлетворява ур.\(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\), за да получим по-точното решение \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\).

За тази цел първо представяме температурния вектор по следния начин.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

Произведението на матрицата на топлопроводност и температурния вектор, матрицата на масите и свързаните членове се апроксимират по следния начин.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

Замествайки ур.\(\eqref{eq:2.4.14}\), ур.\(\eqref{eq:2.4.15}\) и ур.\(\eqref{eq:2.4.16}\) в ур.\(\eqref{eq:2.4.13}\) и пренебрегвайки членовете от втори и по-висок ред, получаваме следното уравнение.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Матрицата на коефициентите в лявата страна се апроксимира допълнително със следното уравнение.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Тук \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) е допирателната матрица на коравина.

В крайна сметка температурата в момент \(t=t_0+\Delta t\) може да се изчисли чрез итерации със следното уравнение.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

По-специално, при стационарен анализ итерациите се извършват със следното уравнение.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

При нестационарен анализ, тъй като за времевата дискретизация се използва неявен метод, изборът на времева стъпка \(\Delta t\) по принцип не е ограничен по големина. Ако обаче времевата стъпка \(\Delta t\) е твърде голяма, броят на итерациите, необходими за сходимост, се увеличава. По принцип прекомерно голяма времева стъпка \(\Delta t\) увеличава броя на итерациите. В реализацията автоматичното управление на стъпката следи големината на вектора на остатъка, намалява \(\Delta t\), когато сходимостта е бавна, и увеличава \(\Delta t\), когато броят на итерациите е малък (→ за подробности вижте Управление на стъпката).

Свързани теми

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status