Анализ на честотния отклик¶

Формулировка на задачата¶

Анализът на честотния отклик определя амплитудата и фазата на установения отклик на система в честотната област, когато външната сила се изменя хармонично с времето. Тъй като определящото уравнение на движение се разглежда различно при наличие и липса на затихване, в тази глава първо се извеждат собствените модове от свободните трептения без затихване, а след това те се използват като модален базис за разлагане на хармоничния отклик със затихване.

Свободни трептения без затихване и собствени модове¶

Когато затихването се пренебрегне, уравнението на движение е

\[\begin{equation} M \ddot{U} + K U = 0 \label{eq:2.6.1} \end{equation}\]

Разлагането на преместването по отделните собствени модове дава

\[\begin{equation} U = U_j e^{i \omega_j t} \label{eq:2.6.2} \end{equation}\]

Като заместим това в уравнение \(\eqref{eq:2.6.1}\), получаваме

\[\begin{equation} K U_j = \omega_j^2 M U_j \label{eq:2.6.3} \end{equation}\]

Това е обобщена задача за собствени стойности. Числените методи за нейното решаване, включително обратната итерация с отместване и метода на Lanczos, са разгледани в Модален анализ. Този раздел обобщава свойствата на получените собствени честоти и собствени модове, които се използват при последващото разлагане на хармоничния отклик.

Реалност на собствените честоти¶

Може да се покаже, че собствената честота е реална, както следва. Нека \(\omega_j^2 = \lambda_j\). Вземането на комплексно спрегнатото на уравнение \(\eqref{eq:2.6.3}\) дава уравнение \(\eqref{eq:2.6.4}\).

\[\begin{equation} K U_j = \lambda_j M U_j K \overline{UJ} = \overline{\lambda_J} M \overline{U_J} \label{eq:2.6.4} \end{equation}\]

Умножаването по \(\overline{U}_J^T\) дава

\[\begin{equation} U_j^T K \overline{U}_J = \overline{\lambda}_J U_j^T M \overline{U}_J \overline{U}_J^T K U_j = \lambda_j \overline{U}_J^T M U_j \label{eq:2.6.5} \end{equation}\]

От уравнение \(\eqref{eq:2.6.5}\),

\[\begin{equation} 0 = ( \lambda_j - \overline{\lambda_J} ) \overline{U_J}^T M U_j \label{eq:2.6.6} \end{equation}\]

Тъй като матрицата на масите е симетрична и положително определена, за ненулев собствен вектор е изпълнено

\[\begin{equation} \overline{U_J} M U_j > 0 \label{eq:2.6.7} \end{equation}\]

Следователно

\[\begin{equation} \lambda_j =\overline{\lambda_J} \label{eq:2.6.8} \end{equation}\]

Така \(\omega_j^2 = \lambda_j\) е реално число.

Ортогоналност и нормировка на собствените модове¶

Разглеждаме два различни мода.

\[\begin{equation} K U_i = \lambda_i M U_i K U_j = \lambda_j M U_j \label{eq:2.6.9} \end{equation}\]

Следва, че

\[\begin{equation} ( \lambda_i - \lambda_j ) U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.10} \end{equation}\]

а когато собствените стойности са различни,

\[\begin{equation} U_j^T M U_i = 0 \label{eq:2.6.11} \end{equation}\]

Следователно различните собствени модове са ортогонални спрямо матрицата на масите. За един и същ мод нормировката спрямо матрицата на масите, както в уравнение \(\eqref{eq:2.6.12}\), опростява последващото разглеждане.

\[\begin{equation} U_i^T M U_i = 1 \label{eq:2.6.12} \end{equation}\]

Хармоничен отклик със затихване¶

Следва формулировката на анализа на честотния отклик със затихване. Определящото уравнение на движение е дадено с уравнение \(\eqref{eq:2.6.13}\).

\[\begin{equation} M \ddot{U} + C \dot{U} + K U = F \label{eq:2.6.13} \end{equation}\]

Приема се, че членът на затихването е от тип Rayleigh и се изразява с уравнение \(\eqref{eq:2.6.14}\).

\[\begin{equation} C = \alpha M + \beta K \label{eq:2.6.14} \end{equation}\]

С помощта на собствените вектори, получени от модалния анализ, векторът на преместването в момент t може да се разложи както в уравнение \(\eqref{eq:2.6.15}\).

\[\begin{equation} U(t) = \sum_i b_i(t) U_i \label{eq:2.6.15} \end{equation}\]

Нека членът на външната сила има хармоничния вид

\[\begin{equation} F(t) = ( F_R + i F_I )e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.16} \end{equation}\]

След това определяме \(b_{j}(t)\). Тъй като уравнението на движение в уравнение \(\eqref{eq:2.6.13}\) има вида на принудено трептене,

\[\begin{equation} b_j (t) = (b_{jR} + b_{jI}) e^{i \Omega t} \label{eq:2.6.17} \end{equation}\]

е изпълнено. Реалната и имагинерната част на коефициента на разлагане \(b_{j}(t)\) са дадени съответно с уравнения \(\eqref{eq:2.6.18}i\) и \(\eqref{eq:2.6.19}\).

\[\begin{equation} b_{jR} = \frac{ U^T_j F_R (\omega^2_j - \Omega^2) + U^T_j F_I (\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.18} \end{equation}\]

\[\begin{equation} b_{jI} = \frac{ U^T_j F_I(\omega^2_j - \Omega^2) - U^T_j F_R(\alpha + \beta \omega_j^2) \Omega}{ (\omega^2_j - \Omega^2)^2 + (\alpha + \beta \omega_j^2)^2 \Omega^2} \label{eq:2.6.19} \end{equation}\]

Така се получават търсените коефициенти на хармоничния отклик.

Свързани теми¶

Модален анализ — формулировка на базовата задача за собствени стойности
Методи за динамичен анализ — динамичен анализ във времевата област
Типове анализ — функционален преглед на анализа на честотния отклик