Модален анализ¶

Обобщена задача за собствени стойности¶

При анализ на свободните трептения на непрекъсната среда областта се дискретизира пространствено и се моделира като система с много степени на свобода и концентрирани маси, както е показано на фиг. 2.3.1. За задача за свободни трептения без затихване определящото уравнение (уравнението на движение) е следното.

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = 0 \label{eq:2.3.1} \end{equation}\]

Тук $u$ е векторът на обобщените премествания, $M$ е матрицата на масите, а $K$ е матрицата на коравина. Нека собствената кръгова честота е $\omega$, $a$, $b$ и $c$ са произволни константи, а $x$ е вектор. Дефинираме функцията

\[\begin{equation} u(t) = (a \sin \omega t + b \cos \omega t ) x \label{eq:2.3.2} \end{equation}\]

Втората производна на този израз е

\[\begin{equation} \ddot{u}(t) = -\omega^2 (a \sin \omega t + b \cos \omega t) x \label{eq:2.3.3} \end{equation}\]

Като заместим тези изрази в уравнение $\eqref{eq:2.3.1}$, получаваме

\[\begin{equation} M u + K \ddot{u} = (a \sin \omega t + b \cos \omega t) (- \omega^2 M + K x ) = ( -\lambda M + K x) = 0 \label{eq:2.3.4} \end{equation}\]

тоест се получава

\[\begin{equation} K x = \lambda M x \label{eq:2.3.5} \end{equation}\]

Следователно, ако може да се намерят коефициентът $\lambda = \omega^2$ и векторът $x$, удовлетворяващи уравнение $\eqref{eq:2.3.5}$, функцията $u(t)$ е решение на уравнение $\eqref{eq:2.3.1}$.

Коефициентът $\lambda$ се нарича собствена стойност, а векторът $x$ — собствен вектор. Задачата за определянето им от уравнение $\eqref{eq:2.3.1}$ се нарича обобщена задача за собствени стойности.

Пример за система с много степени на свобода при свободни трептения без затихване

Фигура 2.3.1 Пример за система с много степени на свобода при свободни трептения без затихване

Свойства и предположения за матриците¶

За обобщената задача за собствени стойности $K x = \lambda M x$, получена в предишния раздел, в това ръководство се приемат следните свойства на матриците. Тези предположения лежат в основата на сходимостта и областта на приложимост на описаните по-долу методи на обратна итерация с отместване и Lanczos. За комплексна матрица транспонирането е комплексно спрегнато, докато реалната матрица е симетрична. По-конкретно, за матрицата $K$, ако нейната $ij$-та компонента е $k_{ij}$, а комплексно спрегнатото на $k$ се означава с $\bar{k}$, тогава

\[\begin{equation} k_{ij} = \bar{k}_{ji} \label{eq:2.3.6} \end{equation}\]

е изпълнено следното съотношение.

В това ръководство матриците се приемат за симетрични и положително определени. Положително определена означава, че всички собствени стойности са положителни; еквивалентно, матрицата винаги удовлетворява уравнение $\eqref{eq:2.3.7}$ по-долу.

\[\begin{equation} x^{t} A x > 0 \label{eq:2.3.7} \end{equation}\]

Обратна итерация с отместване¶

При структурен анализ по метода на крайните елементи на практика обикновено не са необходими всички собствени стойности; в много случаи са достатъчни само няколко собствени стойности за ниските модове. HEC-MW е предназначен за голямомащабни задачи, при които матриците са големи и много разредени (съдържат много нулеви елементи). Затова е важно собствените стойности на ниските модове да се изчисляват ефективно с оглед на това свойство.

Нека $\sigma$ е долната граница на собствените стойности. Тогава уравнение $\eqref{eq:2.3.5}$ може да се преобразува в следния математически еквивалентен вид.

\[\begin{equation} (K - \sigma M)^{-1} M x = \frac{1}{(\lambda-\sigma)} x \label{eq:2.3.8} \end{equation}\]

Това преобразуване има следните полезни за изчислението свойства.

Редът на модовете се обръща.
Собствените стойности в близост до $\rho$ се преобразуват в най-големите стойности.

При действителното изчисление често първо се получават най-големите собствени стойности. Поради това основното изчисление до сходимост се прилага не към уравнение $\eqref{eq:2.3.5}$, а към уравнение $\eqref{eq:2.3.8}$, с цел първо да се получат собствените стойности в близост до $\rho$. Тази техника се нарича обратна итерация с отместване.

Метод на Lanczos¶

Основание за използването му (сравнение с метода на Jacobi)¶

Сред класическите методи добре известен е методът на Jacobi.

Този метод е ефективен, когато матрицата е малка и плътна. Тъй като обаче матриците, обработвани от HEC-MW, са големи и разредени, методът на Jacobi не се използва; вместо него се прилага итерационният метод на Lanczos.

Алгоритъм и характеристики¶

Предложен от C. Lanczos през 50-те години на XX век, този метод представлява алгоритъм за свеждане на матрица до тридиагонален вид и има следните характеристики.

Това е итерационен сходящ метод и изчислението може да протича, като матрицата остава разредена.
Алгоритъмът се състои главно от умножения на матрица с вектор и е много подходящ за паралелизация.
Подходящ е за геометрично разделяне на области, свързано с мрежите по метода на крайните елементи.
Ефективно изчисление е възможно чрез ограничаване на броя на собствените стойности и диапазона на модовете, които трябва да бъдат получени.

Методът на Lanczos започва от начален вектор, последователно генерира ортогонални вектори и конструира базис на подпространство. Смята се, че е по-бърз от метода на подпространствата, който също е итерационен метод, и се използва широко в програми по метода на крайните елементи. Този метод обаче е чувствителен към числени грешки, които могат да разрушат ортогоналността на векторите и да доведат до срив на изчислението. Поради това са необходими мерки срещу такива числени грешки.

Геометрична интерпретация (подпространство на Krylov)¶

Като въведем следната замяна на променливите в уравнение $\eqref{eq:2.3.8}$,

\[ A = (K - \sigma M)^{-1} M \]

\[\begin{equation} \frac{1}{\lambda-\sigma}= \zeta \label{eq:2.3.9} \end{equation}\]

задачата може да се пренапише като

\[\begin{equation} A x = \zeta x \label{eq:2.3.10} \end{equation}\]

се получава.

За подходящ вектор $q_0$ прилагаме линейното преобразуване, представено от матрицата $A$ (виж фиг. 2.3.2).

$Линейно преобразуване на $q_0$ с матрицата $A$$

Фигура 2.3.2 Линейно преобразуване на $q_0$ с матрицата $A$

Преобразуваният вектор се ортогонализира в пространството, което той образува заедно с първоначалния вектор. Тоест се извършва ортогонализация по Gram-Schmidt, както е показано на фиг. 2.3.2. Нека полученият вектор е $r_1$. Нормализираме го до единична дължина, за да получим $q_1$ (фиг. 2.3.3). От $q_1$ по същата процедура получаваме $q_2$. В този момент $q_2$ е ортогонален както на $q_1$, така и на $q_0$ (фиг. 2.3.4). Продължаването на същото изчисление дава взаимно ортогонални вектори до реда на матрицата.

$Вектор, ортогонален на $q_0$: $q_1$$

Фигура 2.3.3 Вектор, ортогонален на $q_0$: $q_1$

$Вектор, ортогонален на $q_1$ и $q_0$: $q_2$$

Фигура 2.3.4 Вектор, ортогонален на $q_1$ и $q_0$: $q_2$

По-конкретно алгоритъмът на Lanczos прилага ортогонализация по Gram-Schmidt към редицата от вектори $A q_0$, $A q_1$, $A q_2$

или, еквивалентно, $A q_0$, $A^2 q_0$, $A^3 q_0$, ,$A^n q_0$.

Тази редица от вектори се нарича редица на Krylov, а пространството, което тя поражда — подпространство на Krylov. Когато в това пространство се извършва ортогонализация по Gram-Schmidt, всеки нов вектор може да бъде получен с помощта на двата най-скорошни вектора. Това се нарича принцип на Lanczos.

Тридиагонализация¶

В горната итерация изчислението за (i+1)-ия вектор може да се запише като

\[\begin{equation} \beta_{i+1} q_{i+1} + \alpha_{i+1} q_{i} + \gamma_{i+1} q_{i-1} = Aq_{i} \label{eq:2.3.11} \end{equation}\]

където

\[ \beta_{i+1} = \frac{1}{||r_{i+1}||} \]

\[ \alpha_{i+1} = \frac{(q_i, Aq_i)}{(q_i, q_i)} \]

\[\begin{equation} \gamma_{i+1} = \frac{(q_{i-1}, Aq_i)}{(q_{i-1}, q_{i-1})} \label{eq:2.3.12} \end{equation}\]

В матричен запис това става

\[\begin{equation} AQ_m = Q_m T_m \label{eq:2.3.13} \end{equation}\]

където

\[ Q_m = [q_{1}, q_{2}, q_{3}, \ldots ,q_{m}] \]

\[\begin{equation} T= \begin{pmatrix} \alpha_{1} & \gamma_{1} & & &\\ \beta_{2} & \alpha_{2} & \gamma_{2} & & \\ & \cdots & & &\\ & & & \beta_{m} & \alpha_{m} \end{pmatrix} \label{2.3.14} \end{equation}\]

Следователно собствените стойности се получават чрез решаване на задачата за собствени стойности на тридиагоналната матрица, получена от уравнение $\eqref{eq:2.3.13}$.

Свързани теми¶

Анализ на честотния отклик — честотен отклик с използване на резултатите от модалния анализ
Типове анализ — функционален преглед на модалния анализ