Към съдържанието

Списък на означенията на физичните величини

Тази страница изброява означенията на физичните величини, използвани в теоретичното ръководство на FrontISTR. За правилата за означенията (удебелен шрифт за вектори и тензори, конвенцията за сумиране на Einstein и нотацията на Voigt) вижте Тензорна нотация и математически основи.

Конфигурации и координатни системи

Символ Описание
\(\boldsymbol{X}\) Радиус-вектор на материална точка в референтната (началната) конфигурация (материални координати)
\(\boldsymbol{x}\) Радиус-вектор на материална точка в текущата конфигурация (пространствени координати)
\(\phi(\boldsymbol{X}, t)\) Отображение на движението: \(\boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t)\)
\(\Omega_0\) Област, заета от тялото в референтната конфигурация
\(\Omega\) Област, заета от тялото в текущата конфигурация
\(\Gamma_0\) Граница на \(\Omega_0\)
\(\Gamma\) Граница на \(\Omega\)
\(\Gamma_B, \Gamma_{0B}\) Геометрична (по преместване) граница: граница в текущата/референтната конфигурация, на която е зададено \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\)
\(\Gamma_t, \Gamma_{0t}\) Механична граница: граница в текущата/референтната конфигурация, на която е зададено \(\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\) (или \(\boldsymbol{P}\boldsymbol{N} = \bar{\boldsymbol{t}}\))
\(\boldsymbol{n}\) Външен единичен нормален вектор към повърхнина в текущата конфигурация
\(\boldsymbol{N}\) Външен единичен нормален вектор към повърхнина в референтната конфигурация
\(t\) Време

Конвенция: Физичните величини в референтната конфигурация се означават с главни букви или с долен индекс \(0\), а величините в текущата конфигурация — с малки букви.

Време и инкременти (инкрементален анализ)

Символ Описание
\(\Delta t\) Времеви инкремент: \(\Delta t = t_{n+1} - t_n\)
\(^{t}(\cdot)\) Физична величина в момент \(t\) (ляв горен индекс). Пример: \(^{t}\boldsymbol{\sigma}\) е напрежението на Cauchy в момент \(t\)
\(^{t}\Omega\) Област на текущата конфигурация в момент \(t\)
\(^{t}\Gamma\) Граница на текущата конфигурация в момент \(t\)

Конвенция: При инкрементален анализ състоянието до момент \(t\) се приема за известно, а състоянието в момент \(t + \Delta t\) се решава като неизвестно. Левият горен индекс се пропуска, когато моментът не е необходимо да се указва явно. Формулировка, която използва референтната конфигурация \(\Omega_0\) като отправна, се нарича формулировка Total Lagrange, а формулировка, която използва текущата конфигурация \(^{t}\Omega\) в началото на инкремента като отправна, се нарича формулировка Updated Lagrange.

Преместване, скорост, ускорение и обемна сила

Символ Описание
\(\boldsymbol{u}\) Вектор на преместването: \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\)
\(\bar{\boldsymbol{u}}\) Преместване, зададено по геометричната граница \(\Gamma_B\)
\(\delta \boldsymbol{u}\) Виртуално преместване (тестова функция): \(\delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}\) върху \(\Gamma_B\)
\(\boldsymbol{v}\) Вектор на скоростта: \(\boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}\)
\(\boldsymbol{a}\) Вектор на ускорението: \(\boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}}\)
\(\boldsymbol{g}\) Обемна сила (на единица маса)
\(\boldsymbol{t}\) Вектор на повърхностното усилие (на единица площ): \(\boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\)
\(\bar{\boldsymbol{t}}\) Повърхностно усилие, зададено по механичната граница \(\Gamma_t\) (данни на Neumann)

Диференциални оператори

Символ Описание
\(\dot{(\cdot)}\) Материална производна по времето (производна по времето, следваща една и съща материална точка): \(\dot{A} \equiv DA/Dt\)
\(\nabla_X\) Градиент в референтната конфигурация (градиент по материалните координати \(\boldsymbol{X}\)): \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\)
\(\nabla_x\) Градиент в текущата конфигурация (градиент по пространствените координати \(\boldsymbol{x}\)): \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\)
\(\nabla_S\) Симетричен градиентен оператор: \(\nabla_S \boldsymbol{u} = \tfrac{1}{2}(\nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T)\)

Забележка: \(\nabla_X\) и \(\nabla_x\) са свързани чрез \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). Градиент без долен индекс, \(\nabla\), се използва, когато конфигурацията е ясна от контекста или когато разграничението изчезва, както при задачи с малки деформации.

Тензори на деформацията

Символ Описание
\(\boldsymbol{F}\) Тензор на градиента на деформацията: \(F_{ij} = \partial x_i / \partial X_j\)
\(J\) Отношение на обемите: \(J = dv/dV = \det \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{C}\) Десен тензор на деформацията на Cauchy-Green: \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{b}\) Ляв тензор на деформацията на Cauchy-Green: \(\boldsymbol{b} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{F}^T\)
\(\boldsymbol{L}\) Тензор на градиента на скоростта: \(L_{ij} = \partial v_i / \partial x_j = \dot{F}_{ik}F^{-1}_{kj}\)
\(\boldsymbol{D}\) Тензор на скоростта на деформация (симетричната част на \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{D} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}+\boldsymbol{L}^T)\)
\(\boldsymbol{W}\) Тензор на спина (кососиметричната част на \(\boldsymbol{L}\)): \(\boldsymbol{W} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{L}-\boldsymbol{L}^T)\)

Тензори на деформациите

Символ Описание
\(\boldsymbol{E}\) Тензор на деформациите на Green-Lagrange (референтна конфигурация): \(\boldsymbol{E} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{I})\)
\(\boldsymbol{e}\) Тензор на деформациите на Almansi (текуща конфигурация): \(\boldsymbol{e} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{b}^{-1})\)
\(\boldsymbol{A}_{(L)}\) Линейна част на тензора на деформациите на Almansi (симетричен градиент на преместването в текущата конфигурация): \(\boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T)\)
\(\boldsymbol{\varepsilon}\) Тензор на безкрайно малките деформации (линейна апроксимация): \(\varepsilon_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i/\partial x_j + \partial u_j/\partial x_i)\)

Забележка: \(\boldsymbol{E}\) се използва главно във формулировката Total Lagrange, а \(\boldsymbol{D}\) — главно във формулировката Updated Lagrange.

Тензори на напреженията

Символ Описание
\(\boldsymbol{\sigma}\) Тензор на напреженията на Cauchy (истинско напрежение, текуща конфигурация): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{n}\,d\Gamma\)
\(\boldsymbol{P}\) Първи тензор на напреженията на Piola-Kirchhoff (номинално напрежение): \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)
\(\boldsymbol{S}\) Втори тензор на напреженията на Piola-Kirchhoff (референтна конфигурация, симетричен): \(\boldsymbol{F}^{-1}d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S}\boldsymbol{N}\,d\Gamma_0\)

Преобразувателни зависимости между тензорите на напреженията:

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J}\boldsymbol{F}\boldsymbol{S}\boldsymbol{F}^T = \frac{1}{J}\boldsymbol{P}\boldsymbol{F}^T \]

Конвенция: Формулировката Total Lagrange използва двойката \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\), а формулировката Updated Lagrange — двойката \((\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{D})\).

Плътност и маса

Символ Описание
\(\rho\) Масова плътност в текущата конфигурация
\(\rho_0\) Масова плътност в референтната конфигурация

Закон за запазване на масата: \(\rho_0 = J\rho\).

Материални константи (линейна еластичност)

Символ Описание
\(E\) Модул на Young
\(\nu\) Коефициент на Poisson
\(\lambda\) Първа константа на Lamé: \(\lambda = E\nu / [(1+\nu)(1-2\nu)]\)
\(\mu\) Втора константа на Lamé (модул на срязване): \(\mu = E / [2(1+\nu)]\)
\(\boldsymbol{\mathsf{C}}\) Тензор на еластичност (четвърти ред): \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\mathsf{C}}:\boldsymbol{E}\), компоненти \(C_{ijkl}\)
\(D\) (или \(\hat{\tilde{C}}\)) Материална матрица (нотация на Voigt, \(6\times6\) в 3D): \(\hat{\sigma} = D\,\hat{\varepsilon}\)

Компоненти на тензора на еластичност за изотропен линейно еластичен материал:

\[ C_{ijkl} = \lambda\,\delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\,(\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk}) \]

Хипереластични материали

Символ Описание
\(W(\boldsymbol{C})\) Функция на еластичния потенциал (плътност на енергията на деформация)
\(I_1, I_2, I_3\) Главни инварианти на десния тензор на Cauchy-Green \(\boldsymbol{C}\)
\(\tilde{I}_1, \tilde{I}_2, \tilde{I}_3\) Редуцирани инварианти на \(\boldsymbol{C}\) (отделена обемна промяна)
\(C_1, C_2\) Материални константи на модела Mooney-Rivlin
\(D\) Материална константа, свързана с обемната еластичност

Еластопластични материали

Символ Описание
\(\boldsymbol{D}^e\) Еластична компонента на тензора на скоростта на деформация
\(\boldsymbol{D}^p\) Пластична компонента на тензора на скоростта на деформация
\(F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa)\) Функция на провлачване
\(\kappa\) Вътрешна променлива, представяща пластичното състояние (променлива на изотропното уякчаване)
\(\lambda^p\) Пластичен множител (множител на скоростта на пластичната деформация): \(\lambda^p \geq 0\)
\(\Theta\) Пластичен потенциал (\(\Theta = F\) за асоцииран закон на течение)
\(\bar{\sigma}\) Еквивалентно напрежение (напр. напрежение на von Mises)
\(\bar{\varepsilon}^p\) Еквивалентна пластична деформация
\(H(\bar{\varepsilon}^p)\) Функция на изотропното уякчаване

Условие за допълняемост: \(\lambda^p F(\boldsymbol{\sigma}, \kappa) = 0\), \(\lambda^p \geq 0\), \(F \leq 0\).

Метод на крайните елементи

Символ Описание
\(\Omega^h, \Omega_0^h\) Области в текущата и референтната конфигурация, апроксимирани чрез дискретизация по метода на крайните елементи: \(\Omega^h = \bigcup_e \Omega^e\)
\(\Omega^e, \Omega^e_0\) Област на елемента в текущата и референтната конфигурация
\(\Gamma^e_t, \Gamma^e_{0t}\) Част от границата на елемента, принадлежаща към механичната граница
\(\boldsymbol{r}\) Естествени координати (локални за елемента координати)
\(\boldsymbol{r}_\alpha\) Точка в естествени координати, съответстваща на възел \(\alpha\)
\(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) Функция на формата, съответстваща на възел \(\alpha\) на елемент \(e\)
\(n_e\) Брой възли, съставящи един елемент
\(n_g\) Общ брой глобални възли
\(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\) Координати и преместване на елементен възел \(\alpha\)
\(\boldsymbol{X}^e, \boldsymbol{u}^e\) Елементни възлови вектори на координатите и преместванията: \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) и т.н.
\(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) Глобални възлови вектори на координатите и преместванията (подредени по номер на възел, след това по степен на свобода)
\(\boldsymbol{B}\) Матрица на зависимостта деформация–преместване (B-матрица)
\(\boldsymbol{N}_\alpha, \boldsymbol{N}\) Матрица на функциите на формата: \(\boldsymbol{N}_\alpha\) е блок \(d \times d\) с функцията на формата \(N_\alpha^e\) за възел \(\alpha\) по диагонала, а \(\boldsymbol{N} = [\boldsymbol{N}_1, \ldots, \boldsymbol{N}_{n_e}]\). \(\delta\boldsymbol{u} = \boldsymbol{N}\, \delta\boldsymbol{u}^e\)
\(\boldsymbol{K}^e\) Елементна матрица на коравина
\(\boldsymbol{K}^e_X, \boldsymbol{K}^e_x\) Подинтегрални изрази на елементната матрица на коравина (в референтната и текущата конфигурация): \(\boldsymbol{K}^e = \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{K}^e_X\, dV = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{K}^e_x\, dv\)
\(\boldsymbol{Q}^e\) (формулировка TL), \(\boldsymbol{q}^e\) (формулировка UL) Елементен вектор на вътрешните сили
\(\boldsymbol{F}^e_\alpha, \boldsymbol{F}^e\) Възлова външна сила, действаща върху елементен възел \(\alpha\), и елементен възлов вектор на външните сили: \(\boldsymbol{F}^e = (\boldsymbol{F}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{F}^{eT}_{n_e})^T\)
\(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\) Глобален вектор на вътрешните сили и глобален вектор на външните сили: \(\boldsymbol{Q} = (\boldsymbol{Q}^T_1, \ldots, \boldsymbol{Q}^T_{n_g})^T\); аналогично за \(\boldsymbol{F}\)
\(\boldsymbol{Q}_{i_g}, \boldsymbol{F}_{i_g}\) Възлова вътрешна сила и възлова външна сила в глобален възел \(i_g\) (възлови блокове на \(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{F}\))
\(\boldsymbol{K}\) Глобална тангенциална матрица на коравина: \(\boldsymbol{K} = \partial \boldsymbol{Q}/\partial \boldsymbol{u}\). Матрица, образувана чрез поставяне на блока \(3\times 3\) \(\boldsymbol{K}_{i_gi_h}\) в ред \(i_g\), колона \(i_h\)
\(\boldsymbol{R}_i\) Вектор на остатъка при итерацията на Newton-Raphson: \(\boldsymbol{R}_i = \boldsymbol{F} - \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{u}_n + \Delta\boldsymbol{u})\)
\(d\boldsymbol{u}_i\) Корекция при итерацията на Newton-Raphson (получена чрез решаване на линейното уравнение \(\boldsymbol{K}_i\, d\boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{R}_{i-1}\) при итерация \(i\))
\(i_g\) Глобален номер на възел (\(1 \leq i_g \leq n_g\))
\(\mathrm{gdx}(e, \alpha)\) Глобален номер на възел, съответстващ на локалния номер на възел \(\alpha\) на елемент \(e\): \(\mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g\)
\(\mathcal{E}(i_g)\) Множество от двойки \((e, \alpha)\), съответстващи на глобален номер на възел \(i_g\): \(\mathcal{E}(i_g) = \{ (e, \alpha) \mid \mathrm{gdx}(e, \alpha) = i_g \}\). Използва се при операции по асемблиране
\(\mathcal{E}^2(i_g, i_h)\) Множество от тройки \((e, \alpha, \beta)\), съответстващи на двойката глобални номера на възли \((i_g, i_h)\); използва се при асемблиране на матрицата на коравина
\(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\) Индекси на възлите, съставящи един елемент
\(i, j, k, l, \ldots\) Индекси на степените на свобода (\(1, 2, 3\) в 3D)

Усъвършенствани и конструктивни елементи

Символ Описание
\(\bar{\boldsymbol{B}}\) Матрица на зависимостта деформация–преместване, чиято обемна част е модифицирана по метода B-bar (обемната компонента се заменя с B-матрицата, изчислена в центъра на елемента)
\(\bar{\boldsymbol{F}}\) Градиент на деформацията с обемна част, модифицирана по метода F-bar: \(\bar{\boldsymbol{F}} = (J_0/J)^{1/3} \boldsymbol{F}\)
\(J_0\) Отношение на обемите за градиента на деформацията, изчислен в центъра на елемента \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{0}\): \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\)
\(\boldsymbol{\alpha}\) Вектор на вътрешните степени на свобода за елемент с несъвместими модове (коефициенти на допълнителни модове на преместване, които не налагат непрекъснатост по границата на елемента)
\(M_k(\boldsymbol{r})\) Функции на формата за несъвместими модове: \(M_1=1-\xi^2\), \(M_2=1-\eta^2\), \(M_3=1-\zeta^2\)
\(h\) Дебелина на черупков елемент
\(A\) Площ на напречното сечение на гредов елемент
\(I\) Втори момент на площта на напречното сечение на гредов елемент
\(G\) Модул на срязване: \(G = E/[2(1+\nu)]\)

Свързани теми

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status