Тензорна нотация и математически основи¶

Тази глава обединява правилата за тензорна нотация, индексна нотация и нотация на Voigt, използвани в следващите глави на теоретичното ръководство на FrontISTR. Тук са описани само чисти правила за нотация, които не зависят от определенията на физичните величини. Нотационните правила, зависещи от конфигурацията, свързана с движението на континуума (референтна/текуща конфигурация), като разграничението между главни и малки букви и между материални и пространствени производни, са дадени в Движение, деформация и деформации, където е въведено понятието за конфигурация.

Тензорна нотация¶

Удебелена нотация за вектори и тензори¶

Като типографско правило скаларните величини и компонентите на вектори и тензори се записват с обикновен шрифт (например \(\rho\) и \(x_i\)), докато самите векторни и тензорни величини се записват с удебелен шрифт (например \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{E}\) и \(\boldsymbol{\sigma}\)).

Конвенция за сумиране на Айнщайн¶

Освен ако не е посочено друго, се използва конвенцията за сумиране на Айнщайн: когато един и същ индекс се среща два пъти в един и същ член, по този индекс се извършва сумиране. Например,

\[ a_i b_i = \sum_i a_i b_i, \quad A_{ij} B_{ij} = \sum_{i,j} A_{ij} B_{ij}, \quad \frac{\partial a_i}{\partial x_i} = \sum_i \frac{\partial a_i}{\partial x_i} \]

а \(\boldsymbol{A}\)-компонентата на произведението \(\boldsymbol{B}\) на тензорите \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\) и \(i,j\) е

\[ C_{ij} = A_{ik} B_{kj} \]

Като индексна конвенция, когато \(i, j, k, l, \ldots\) се използват като индекси без допълнително уточнение, те означават индекси, свързани със степените на свобода (\(1, 2, 3\) в тримерен случай), а малките гръцки букви \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\), използвани като индекси, означават индекси, свързани с възлите, образуващи елемента.

Вътрешно произведение, транспониране и тензорно произведение¶

Транспонираният тензор на \(\boldsymbol{A}\) се означава с \(\boldsymbol{A}^T\). Вътрешното произведение (двойна контракция) на тензорите от втори ред \(\boldsymbol{A}\) и \(\boldsymbol{B}\) се записва като

\[ \boldsymbol{A} : \boldsymbol{B} \equiv A_{ij} B_{ij} \]

Вътрешното произведение на векторите \(\boldsymbol{a}\) и \(\boldsymbol{b}\) е \(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_i b_i\), а тензорното им произведение е \((\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b})_{ij} = a_i b_j\).

Нотация на Voigt¶

Напрежението и деформацията са симетрични тензори от втори ред по отношение на степените на свобода, а коефициентите, представящи линейната връзка между тях, образуват тензор от четвърти ред. Прякото им обработване в програма е неблагоприятно от гледна точка на изчислителните разходи и програмирането (многомерни масиви и дълбоко вложени цикли). Затова общите програми по метода на крайните елементи използват симетрията и представят напрежението и деформацията като вектори-колони, а тензора на еластичност от четвърти ред като двумерна матрица. Това се нарича нотация на Voigt.

По-нататък матричното или векторното представяне на тензорна величина \(\boldsymbol{A}\) се означава с \(\hat{A}\), за да се различава от първоначалния тензор.

Векторно представяне на напрежението и деформацията¶

За симетричния тензор на напреженията \(\boldsymbol{\sigma}\) и тензора на деформациите \(\boldsymbol{\varepsilon}\), в двумерен случай,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ 2 \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \]

а в тримерен случай,

\[ \hat{\sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{12} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{31} \end{bmatrix}, \qquad \hat{\varepsilon} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2 \varepsilon_{12} \\ 2 \varepsilon_{23} \\ 2 \varepsilon_{31} \end{bmatrix} \]

те се обработват като вектори-колони, както е показано по-горе. Същото правило важи и за производни величини като вариации и диференциали. Обърнете внимание, че срязващите компоненти при деформацията имат коефициент 2 (при напрежението той липсва). Поради тази асиметрия вътрешното произведение на тензори може компактно да се запише като вътрешно произведение на вектори

\[ \boldsymbol{\sigma} : \delta\boldsymbol{\varepsilon} = \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \sum_{i=j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} + 2\sum_{i<j} \sigma_{ij}\,\delta \varepsilon_{ij} = \hat{\sigma}^T\,\delta\hat{\varepsilon} \]

При реализацията коефициентът 2 при срязващите компоненти на деформацията лесно може да бъде обработен неправилно, затова правилото „липсва при напрежение / присъства при деформация“ трябва винаги да се има предвид. Точно същата конвенция на Voigt се прилага за величините в референтната конфигурация (втория тензор на напреженията на Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) и деформацията на Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\)).

Матрично представяне на тензор от четвърти ред¶

За линейната връзка между напрежение и деформация \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon}\) (в компонентен вид \(\sigma_{ij} = C_{ijkl} \varepsilon_{kl}\)), използването на симетрията на \(\boldsymbol{\varepsilon}\) дава

\[ \sigma_{ij} = \tilde{C}_{ijkl} \varepsilon_{kl}, \qquad \tilde{C}_{ijkl} = \frac{1}{2}\bigl( C_{ijkl} + C_{ijlk} \bigr) \]

В тримерен случай, ако \(\tilde{C}\) се подреди като материалната матрица 6×6 \(\hat{\tilde{C}}\), първоначалната тензорна връзка може да се представи като

\[ \hat{\sigma} = \hat{\tilde{C}}\, \hat{\varepsilon} \]

По-нататък в това ръководство, освен ако не е посочено друго, материалната матрица се означава с \(D\) (или \(\hat{C}\)). За конкретните компоненти при изотропна линейна еластичност вижте Линейна еластичност.

Конвенции за диференциалните оператори¶

Оператор на симетричния градиент¶

Операторът на симетричния градиент \(\boldsymbol{u}\) за векторно поле \(\nabla_S\) се определя като

\[ \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\bigl( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \bigr) \]

В компонентен вид \((\nabla_S \boldsymbol{u})_{ij} = \tfrac{1}{2}(\partial u_i / \partial x_j + \partial u_j / \partial x_i)\). Деформацията при безкрайно малки премествания \(\boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u}\) може компактно да се изрази с този оператор. Разграничението между конфигурациите (референтна/текуща), спрямо които се вземат градиентите при крайни деформации, е разгледано в Движение, деформация и деформации.

Материална производна по времето¶

Материалната производна по времето на величина \(A\) (производната по времето, следваща една и съща материална точка) се означава с точка като горен индекс, \(\dot{A}\):

\[ \dot{A} \equiv \frac{D A}{D t}. \]

Скоростта и ускорението следват същата конвенция.

Свързани теми¶

Движение, деформация и деформации — Понятия за референтна/текуща конфигурация и зависими от конфигурацията нотационни правила (главни/малки букви, материални/пространствени производни)
Напрежение и закони за запазване — Извеждане на управляващите уравнения с тази нотация
Принцип на виртуалната работа — Използване на слабата форма и нотацията на Voigt
Линейна еластичност — Конкретен вид на материалната матрица \(D\)
Функции на формата и апроксимация с крайни елементи — Изчисляване на коравината на елемента с нотацията на Voigt