Уравнение на топлопроводността¶

Тази глава обобщава на ниво континуум основното уравнение на топлопроводността, разглеждано от FrontISTR, и неговите гранични условия. Дискретизацията по времето и дискретизацията с FEM са оставени за раздела за дискретизация (L3d) и раздела за алгоритъма на решение (L3e: solution_methods/05_transient_heat).

Основно уравнение¶

Уравнението на топлопроводността в континуум се задава по следния начин.

\[\begin{equation} \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial x}\left(k_x \frac{\partial T}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(k_y \frac{\partial T}{\partial y}\right) + \frac{\partial}{\partial z}\left(k_z \frac{\partial T}{\partial z}\right) + Q \label{eq:gov_he_main} \end{equation}\]

Тук \(\rho=\rho(x)\) означава масова плътност, \(c=c(x,T)\) — специфичен топлинен капацитет, \(T=T(x,t)\) — температура, \(k=k(x,T)\) — топлопроводност, \(Q=Q(x,T,t)\) — топлинно генериране, \(x\) — положение, а \(t\) — време. \(k_x, k_y, k_z\) са топлопроводностите в съответните направления при анизотропна топлопроводност.

За конкретни топлинни свойства, включително температурна зависимост и анизотропия, вижте Топлинни свойства.

Гранични условия¶

Нека разглежданата област бъде \(S\), а границата ѝ — \(\Gamma\). При предположение, че във всяка точка на \(\Gamma\) е зададено гранично условие от тип Dirichlet или Neumann, граничните условия са следните.

\[\begin{equation} T = T_1(x,t), \; x \in \Gamma_1 \label{eq:gov_he_dirichlet} \end{equation}\]

\[\begin{equation} k \frac{\partial T}{\partial n} = q(x,T,t), \; x \in \Gamma_2 \label{eq:gov_he_neumann} \end{equation}\]

Тук се приема, че функционалните форми на \(T_1\) и \(q\) са известни. \(q\) е топлинният поток, напускащ границата. Граничният топлинен поток \(q\) се състои от следните три компоненти.

\[\begin{equation} q=-q_s+q_c+q_r \label{eq:gov_he_flux} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_s=q_s(x,t) \label{eq:gov_he_qs} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_c=hc(T-Tc) \label{eq:gov_he_qc} \end{equation}\]

\[\begin{equation} q_r=hr(T^4-Tr^4) \label{eq:gov_he_qr} \end{equation}\]

Тук \(q_s\) е разпределеният топлинен поток, \(q_c\) е топлинният поток вследствие на конвективен топлообмен, а \(q_r\) е топлинният поток вследствие на радиационен топлообмен.

Тук \(Tc=Tc(x,t)\) е околната температура за конвективния топлообмен, \(hc=hc(x,t)\) е коефициентът на конвективен топлообмен, \(Tr=Tr(x,t)\) е околната температура за радиационен топлообмен, \(hr=\varepsilon \sigma F = hr(x,t)\) е коефициентът на радиационен топлообмен, \(\varepsilon\) е коефициентът на излъчване, \(\sigma\) е константата на Стефан–Болцман, а \(F\) е конфигурационният фактор.

За начина на задаване на тези условия във входен файл вижте Гранични условия и натоварвания във функционалния справочник.

Слаба форма¶

Свързване със структурен анализ¶

Свързани теми¶

Нестационарна топлопроводност — Дискретизация по времето и нелинейни итерации
Топлинни свойства — Формулировка на материалните свойства и температурната зависимост
Функции на формата и апроксимация с крайни елементи — Рамка за дискретизация с FEM
Функционален справочник: Гранични условия и натоварвания — Въвеждане на гранични условия за анализ на топлопроводност