Рамка на инкременталния анализ¶

Необходимост от инкрементален анализ¶

Както е описано по-горе, при анализ на задачи с малки деформации анализът с крайни елементи може да се извърши чрез използване на принципа на виртуалната работа, който е еквивалентен на основните уравнения, например уравненията на равновесие, и чрез дискретизиране на това уравнение с крайни елементи. Същият основен принцип на виртуалната работа се използва и при анализ на задачи с крайни деформации, включващи големи деформации на конструкциите.

При задачи с крайни деформации обаче, дори когато се приема линейност на материала, уравнението на принципа на виртуалната работа става нелинейно по отношение на преместването. За решаване на нелинейни уравнения обикновено се извършват итеративни изчисления с итеративен метод.

При тези итеративни изчисления се използва метод на инкрементален анализ, при който изчислението се извършва на части за малки прирасти на натоварването и прирастите се натрупват, докато се достигне окончателното деформирано състояние. Когато се приема задача с малки деформации, при дефинирането на деформацията и напрежението не се прави съществено разграничение между конфигурациите преди и след деформацията. Тоест при допускане за малки деформации няма значение дали конфигурацията, използвана за описание на основните уравнения, е конфигурацията преди или след деформацията.

Когато за задача с крайни деформации се извършва инкрементален анализ, формулировката се различава в зависимост от това дали за референтна конфигурация се приема началната конфигурация или конфигурацията в началото на прираста. Първият подход се нарича метод Total Lagrange, а вторият — метод Updated Lagrange. За подробности вижте справочните материали в края на главата и свързаните материали.

Начално уравнение: принцип на виртуалната работа в момент \(t'\)¶

Разгледайте инкрементален анализ, при който състоянието до момент \(t\) е известно, а състоянието в момент \(t' = t + \Delta t\) е неизвестно (вижте фигура 2.2.1). Уравненията на равновесие, граничните условия и принципът на виртуалната работа в момент \(t'\) (изразени в текущата конфигурация чрез напрежението на Коши \(^{t'}\sigma\) и линейната част на деформацията на Алманзи \(^{t'} A_{(L)}\)) са дадени в Принцип на виртуалната работа.

Фигура 2.2.1 Концепция на инкременталния анализ

Тъй като това начално уравнение е записано в (неизвестната) конфигурация в момент \(t'\), действителната процедура за решение избира за референтна конфигурация или началната конфигурация \(V\) в момент \(0\), или текущата конфигурация \(^{t'} v\) в момент \(t\), пренаписва уравнението в инкрементална форма и след това го решава:

• Метод Total Lagrange — Използва началната конфигурация \(V\) като референтна. Използват се второто напрежение на Пиола–Кирхоф \(\boldsymbol{S}\) и деформацията на Грийн–Лагранж \(\boldsymbol{E}\).
• Метод Updated Lagrange — Използва текущата конфигурация \(^{t}v\) в началото на прираста като референтна. Използват се напрежението на Коши \(\boldsymbol{\sigma}\) и линейната част на деформацията на Алманзи \(\boldsymbol{A}_{(L)}\).

За пространствената дискретизация на двете формулировки (матрица B и вектор на вътрешните сили) вижте Дискретизация на вътрешната виртуална работа; за линеаризацията и построяването на тангенциалната коравина вижте Матрица на тангенциалната коравина.

Свързани теми¶

• Принцип на виртуалната работа — Основно начално уравнение (слаба форма в текущата и началната конфигурация)
• Дискретизация на вътрешната виртуална работа — B матрици и вектори на вътрешните сили за TL/UL
• Матрица на тангенциалната коравина — \(\boldsymbol{K}^{tl}, \boldsymbol{K}^{up}\), получени чрез линеаризация
• Метод на Нютон–Рафсън — Итеративен алгоритъм