Към съдържанието

Принцип на виртуалната работа

Въз основа на уравнението за равновесие и граничните условия, изведени в Напрежение и закони за запазване, извеждаме принципа на виртуалната работа, който е слабата форма на граничната задача на механиката на континуума. Дискретизацията по метода на крайните елементи започва от тази слаба форма. В тази глава са представени както формата в текущата конфигурация (изразена чрез напрежението на Cauchy и линейната част на деформацията на Almansi), така и формата в референтната конфигурация (изразена чрез второто напрежение на Piola-Kirchhoff и деформацията на Green-Lagrange), показана е тяхната еквивалентност и накрая е потвърдено свеждането до малки деформации.

Уравнение за равновесие и гранични условия

Нека \(\boldsymbol{g}\) е обемната сила, действаща върху континуума на единица маса, и разгледаме тяло, заемащо областта \(\Omega\) в текущата конфигурация. Границата \(\Gamma\) се разделя на геометричната граница \(\bar{\boldsymbol{u}}\), върху която преместването е зададено като \(\Gamma_B\), и механичната граница \(\bar{\boldsymbol{t}}\), върху която повърхностното усилие е зададено като \(\Gamma_t\), като \(\Gamma = \Gamma_B \cup \Gamma_t\) и \(\Gamma_B \cap \Gamma_t = \emptyset\). За статична задача уравнението за равновесие се получава чрез отпадане на инерционния член от закона за запазване на импулса, показан в Напрежение и закони за запазване:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \quad \text{в} \ \Omega \]

Граничните условия са

\[ \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}} \quad \text{върху} \ \Gamma_t \]
\[ \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \quad \text{върху} \ \Gamma_B \]

По-нататък принципът на виртуалната работа се извежда като слабата форма на уравнението за равновесие и механичното гранично условие \(\boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n} = \bar{\boldsymbol{t}}\). Геометричното гранично условие \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) се включва чрез избора на тестова функция.

Слаба форма в текущата конфигурация

В слабата форма допустимото пространство за неизвестното преместване и пространството на тестовите функции се определят съответно като

\[ \mathcal{U} = \{ \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}} \ \text{върху} \ \Gamma_B \} \]
\[ \mathcal{V} = \{ \delta \boldsymbol{u} \in [H^1(\Omega)]^d \mid \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \ \text{върху} \ \Gamma_B \} \]

Тук \(d\) е пространствената размерност, \(H^1(\Omega)\) е пространството на Sobolev от функции, които заедно с първите си слаби производни са квадратично интегрируеми, а \(\delta\) означава вариация. В представянето в текущата конфигурация \(\Omega\) е деформираната конфигурация; при действително числено решение тя се преобразува обратно към референтната конфигурация или към известна междинна конфигурация.

Умножаването на уравнението за равновесие по тегловната функция \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\) и прилагането на теоремата на Gauss за дивергенцията и механичното гранично условие дават следния принцип на виртуалната работа в текущата конфигурация.

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dv \]

Тук \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) е линейната част на тензора на деформация на Almansi, определена чрез

\[ \boldsymbol{A}_{(L)} = \frac{1}{2}\left( \nabla_x \boldsymbol{u} + (\nabla_x \boldsymbol{u})^T \right), \qquad A_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Нейната вариация е \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \tfrac{1}{2}(\nabla_x \delta \boldsymbol{u} + (\nabla_x \delta \boldsymbol{u})^T)\). Следователно търсим \(\boldsymbol{u} \in \mathcal{U}\) така, че уравнението за виртуалната работа да е удовлетворено за всяко \(\delta \boldsymbol{u} \in \mathcal{V}\). Лявата страна е виртуалната работа на вътрешните сили, а дясната страна — виртуалната работа на външните сили от зададеното повърхностно усилие и обемната сила.

Тъй като това уравнение е записано върху деформираната област (текущата конфигурация), при действителната процедура за решение като референтна конфигурация се избира отново началната конфигурация \(\Omega_0\) или известна междинна конфигурация, уравнението се преформулира в прирастна форма и след това се решава. За конкретния избор на референтна конфигурация (Total Lagrange / Updated Lagrange) и прирастното разлагане вижте Рамка за прирастен анализ.

Слаба форма в началната конфигурация

Разгледайте тяло, заемащо областта \(\Omega_0\) в референтната конфигурация, с граница \(\Gamma_0\), разделена на \(\Gamma_{0B} \cup \Gamma_{0t}\). Преобразуването на представянето в текущата конфигурация обратно към референтната конфигурация дава енергийно спрегнатата двойка от второто напрежение на Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) и деформацията на Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\). Тогава принципът на виртуалната работа в началната конфигурация е

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Gamma_{0t}} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma_0 + \int_{\Omega_0} \delta \boldsymbol{u}^T \rho_0 \boldsymbol{g}\, dV \]

Тук \(\rho_0\) е масовата плътност в референтната конфигурация и поради зависимостта за запазване на масата \(\rho_0 = J\rho\) това е еквивалентно на представянето на обемната сила в текущата конфигурация.

Еквивалентност на представянията в текущата и началната конфигурация

Виртуалната работа на вътрешните сили в двете представяния съвпада чрез преобразуването с градиента на деформация \(\boldsymbol{F}\) и отношението на обемите \(J = \det \boldsymbol{F}\), а именно

\[ \int_{\Omega_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV = \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Членовете за външните сили също са еквивалентни поради запазването на масата и преобразуването на повърхностното усилие. Следователно уравнението за виртуалната работа в текущата конфигурация и това в началната конфигурация изразяват един и същ принцип в различни конфигурации. Метод за решение, отнесен към референтната конфигурация, съответства на метода Total Lagrange, докато метод за решение, отнесен към текущата конфигурация (непосредствено предходната сходима конфигурация), съответства на метода Updated Lagrange.

Свеждане до малки деформации

При предположенията за малки деформации \(\boldsymbol{F} \approx \boldsymbol{I}\) и \(J \approx 1\) различието между текущата и референтната конфигурация изчезва, второто PK напрежение съвпада с напрежението на Cauchy (\(\boldsymbol{S} \to \boldsymbol{\sigma}\)), а както деформацията на Green-Lagrange, така и линейната част на деформацията на Almansi се свеждат до безкрайно малката деформация \(\boldsymbol{\varepsilon}\).

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} = \frac{1}{2}\left( \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right), \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

Тогава принципът на виртуалната работа се свежда до слабата форма, изразена чрез напрежението на Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) и безкрайно малката деформация \(\boldsymbol{\varepsilon}\):

\[ \int_{\Omega} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]
\[ \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{върху} \ \Gamma_B \]

Това е слабата форма, използвана директно за дискретизация при линейноеластичен статичен анализ с малки деформации (Линейноеластичен статичен анализ (въведение и приложение) започва от тази форма и показва построяването на коравината на елемента \(\boldsymbol{K}^e\) чрез сглобяване на глобалното уравнение \(\boldsymbol{K}\boldsymbol{U} = \boldsymbol{F}\)).

Като заместим линейноеластичния конститутивен закон \(\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\mathsf{C}} : \boldsymbol{\varepsilon}\) и запишем \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) в нотация на Voigt, слабата форма става

\[ \int_{\Omega} \delta \hat{\varepsilon}^T D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{\Gamma_t} \delta \boldsymbol{u}^T \bar{\boldsymbol{t}}\, d\Gamma + \int_{\Omega} \delta \boldsymbol{u}^T \rho \boldsymbol{g}\, dV \]

която има този вид.

Свързани теми

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status