Напрежения и закони за запазване¶

Тази глава систематизира определенията и взаимните зависимости на тензорите на напреженията, както и уравненията на равновесие и симетрията на напреженията, следващи от законите за запазване на масата, линейния импулс и момента на импулса. Трите тензора на напреженията — напрежението на Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\), първото напрежение на Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\) и второто напрежение на Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) — се въвеждат според това коя конфигурация се използва за референтната повърхнина и вектора на силата. За определенията на конфигурация, движение и градиент на деформацията вижте Движение, деформация и деформации, а за списъка на означенията — Списък на означенията на физичните величини.

Тензор на напреженията на Cauchy¶

Нека \(d\boldsymbol{f}\) е силата, действаща върху безкрайно малка повърхнина в точка \(\boldsymbol{x}\) от текущата конфигурация (площ \(d\Gamma\), външен единичен нормален вектор \(\boldsymbol{n}\)), и дефинираме вектора на повърхностното усилие \(\boldsymbol{t}\) като силата на единица площ чрез \(d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{t}\, d\Gamma\). \(\boldsymbol{t}\) зависи както от положението \(\boldsymbol{x}\), така и от нормалата \(\boldsymbol{n}\). Прилагането на закона за запазване на импулса към безкрайно малък тетраедър показва, че \(\boldsymbol{t}\) зависи линейно от \(\boldsymbol{n}\), така че съществува тензор от втори ред \(\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{x}, t)\), за който

\[ \boldsymbol{t} = \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{n}, \qquad t_i = \sigma_{ij} n_j \]

за произволно \(\boldsymbol{n}\) (теорема на Cauchy за напреженията). Тензорът \(\boldsymbol{\sigma}\) се нарича тензор на напреженията на Cauchy, а също и истинско напрежение, защото представлява сила на единица площ, измерена спрямо геометрията на текущата конфигурация. Компонентата \(\sigma_{ij}\) представлява \(x_i\)-компонентата на силата на единица площ, действаща върху безкрайно малка повърхнина, нормална към координатната ос \(x_j\) в текущата конфигурация.

Както ще бъде показано по-долу от закона за запазване на момента на импулса, напрежението на Cauchy е симетричен тензор:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Следователно в три измерения той има шест независими компоненти (\(\sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{33}, \sigma_{12}, \sigma_{23}, \sigma_{31}\)). Векторизирането на напрежението в нотацията на Voigt предполага тази симетрия (виж Тензорна нотация и математически основи). Напрежението на Cauchy се използва за извеждане на напреженията при геометрично нелинеен анализ във FrontISTR с метода Updated Lagrange и при анализ с малки деформации.

Първо и второ напрежение на Piola-Kirchhoff¶

При крайни деформации често е удобно напрежението да се изразява спрямо повърхнини и вектори в референтната конфигурация, затова се въвеждат два тензора на напреженията на Piola-Kirchhoff. Нека площта на безкрайно малка повърхнина в референтната конфигурация е \(d\Gamma_0\), а външният ѝ единичен нормален вектор е \(\boldsymbol{N}\).

Първото напрежение на Piola-Kirchhoff (първо PK напрежение, номинално напрежение) \(\boldsymbol{P}\) се дефинира като тензора на напреженията, получен когато силата \(d\boldsymbol{f}\) в текущата конфигурация се отнесе към безкрайно малка повърхнина в референтната конфигурация:

\[ d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Като използваме формулата на Nanson \(\boldsymbol{n}\, d\Gamma = J \boldsymbol{F}^{-T} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0\) заедно с теоремата на Cauchy за напреженията, получаваме зависимостта с напрежението на Cauchy

\[ \boldsymbol{P} = J\, \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T \]

Първото PK напрежение по принцип не е симетрично.

Второто напрежение на Piola-Kirchhoff (второ PK напрежение) \(\boldsymbol{S}\) се дефинира като тензора на напреженията, получен чрез пренасяне назад на силата \(d\boldsymbol{f}\) от текущата към референтната конфигурация с \(\boldsymbol{F}^{-1}\) и прилагането ѝ към безкрайно малка повърхнина в референтната конфигурация:

\[ \boldsymbol{F}^{-1}\, d\boldsymbol{f} = \boldsymbol{S} \boldsymbol{N}\, d\Gamma_0 \]

Както векторът на силата, така и повърхнината, върху която той действа, са изразени чрез величини от референтната конфигурация, поради което тензорът е инвариантен при въртене като твърдо тяло и е симетричен. Зависимостта му с първото PK напрежение и преобразуването от напрежението на Cauchy са

\[ \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}, \qquad \boldsymbol{\sigma} = \frac{1}{J} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T, \qquad \boldsymbol{S} = J\, \boldsymbol{F}^{-1} \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T} \]

Второто PK напрежение се извежда от хипереластична функция на енергията на деформация \(W(\boldsymbol{C})\) като \(\boldsymbol{S} = 2\,\partial W / \partial \boldsymbol{C}\) и в метода Total Lagrange се използва заедно с деформацията на Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) като енергийно спрегнатата двойка \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Референтните конфигурации и свойствата на симетрия са обобщени по-долу. В границата на малките деформации (\(\boldsymbol{F} \to \boldsymbol{I}\), \(J \to 1\)) трите напрежения съвпадат.

Тензор на напреженията	Референтна повърхнина	Вектор на силата	Симетрия	Приложение
Напрежение на Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\)	Текуща конфигурация \(d\Gamma, \boldsymbol{n}\)	Текуща конфигурация \(d\boldsymbol{f}\)	Симетричен	Метод Updated Lagrange / анализ с малки деформации
Първо PK напрежение \(\boldsymbol{P}\)	Референтна конфигурация \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Текуща конфигурация \(d\boldsymbol{f}\)	По принцип несиметричен	Уравнения на равновесие в референтната конфигурация
Второ PK напрежение \(\boldsymbol{S}\)	Референтна конфигурация \(d\Gamma_0, \boldsymbol{N}\)	Референтна конфигурация \(\boldsymbol{F}^{-1} d\boldsymbol{f}\)	Симетричен	Метод Total Lagrange / хипереластичност

Запазване на масата и импулса и уравнения на равновесие¶

Нека \(\rho\) е масовата плътност в текущата конфигурация, а \(\rho_0\) — масовата плътност в референтната конфигурация. Законът за запазване на масата \(\int_{\Omega} \rho\, dv = \int_{\Omega_0} \rho_0\, dV\), заедно с преобразуването на обемния елемент \(dv = J\, dV\), се свежда до локалната форма

\[ \rho_0 = J \rho \]

Това е локалната зависимост за запазване на масата.

Нека \(\boldsymbol{g}\) е обемната сила на единица маса, а \(\boldsymbol{a}\) — ускорението. Прилагането на теоремата на Cauchy за напреженията и теоремата на Gauss за дивергенцията към закона за запазване на линейния импулс (първия закон на Euler за движението) дава локалното уравнение на равновесие (уравнение на движение) в текущата конфигурация:

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \rho \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial \sigma_{ij}}{\partial x_j} + \rho g_i = \rho a_i \]

Като пренапишем интеграла в референтната конфигурация с формулата на Nanson и \(\boldsymbol{P} = J \boldsymbol{\sigma} \boldsymbol{F}^{-T}\), получаваме локалната форма в референтната конфигурация:

\[ \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \rho_0 \boldsymbol{a}, \qquad \frac{\partial P_{ij}}{\partial X_j} + \rho_0 g_i = \rho_0 a_i \]

Двете форми са еквивалентни чрез правилото за преобразуване на напреженията и \(\rho_0 = J\rho\). Пренебрегването на инерционния член дава

\[ \nabla_x \cdot \boldsymbol{\sigma} + \rho \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0}, \qquad \nabla_X \cdot \boldsymbol{P} + \rho_0 \boldsymbol{g} = \boldsymbol{0} \]

което е уравнението на статично равновесие и служи като изходна точка за статичния анализ във FrontISTR (линеен и нелинеен).

Запазване на момента на импулса и симетрия на напреженията¶

Комбинирането на закона за запазване на момента на импулса (втория закон на Euler за движението) с уравнението на равновесие, получено от закона за запазване на линейния импулс, води до симетрията на тензора на напреженията на Cauchy:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}^T, \qquad \sigma_{ij} = \sigma_{ji} \]

Следователно в три измерения той има шест независими компоненти. Като транспонираме двете страни на преобразуването \(\boldsymbol{\sigma} = J^{-1} \boldsymbol{F} \boldsymbol{S} \boldsymbol{F}^T\) и използваме неособеността на \(\boldsymbol{F}\), се показва, че второто PK напрежение също е симетрично:

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{S}^T \]

и следователно също има шест независими компоненти. За разлика от него първото PK напрежение \(\boldsymbol{P} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{S}\) по принцип не е симетрично; изпълнено е само съотношението \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T = \boldsymbol{F} \boldsymbol{P}^T\) (тоест \(\boldsymbol{P} \boldsymbol{F}^T\) е симетрично), и то има девет независими компоненти.

Тези симетрии са основата за представянето на напрежението като шесткомпонентен вектор в нотацията на Voigt. За правилата на нотацията на Voigt и конструирането на материалните матрици вижте Тензорна нотация и математически основи и Линейна еластичност.