Движение, деформация и деформации¶

Референтна и текуща конфигурация¶

Определение на конфигурациите¶

За да се разграничи коя форма във времето се използва като основа за описване на физичните величини, в това ръководство се използват две конфигурации.

Референтна конфигурация: недеформираната форма в началото на анализа (момент \(0\)), наричана също начална конфигурация. Точка в референтната конфигурация се представя с материалната координата \(\boldsymbol{X}\), с обем \(V\) и повърхнина \(S\).
Текуща конфигурация: деформираната форма в момент \(t\). Точка в текущата конфигурация се представя с пространствената координата \(\boldsymbol{x}\), с обем \(v\) и повърхнина \(s\).

Движението се представя като отображение между тези две конфигурации, \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{x}(\boldsymbol{X}, t)\), а преместването се определя като \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\).

Нотация, зависеща от конфигурацията (главни/малки букви)¶

Регистърът на символа разграничава конфигурацията, към която принадлежи дадена физична величина.

Величините, принадлежащи към референтната конфигурация, се записват с главни символи (например \(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{F}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{E}, V, S\)).
Величините, принадлежащи към текущата конфигурация, се записват с малки символи (например \(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{e}, v, s\)).
Величини, свързващи двете конфигурации, като първото напрежение на Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{P}\), използват приетата нотация и при необходимост се идентифицират изрично в текста.
В теорията на малките деформации разграничението между двете конфигурации изчезва, затова се използват само малки символи (\(\boldsymbol{\sigma}, \boldsymbol{\varepsilon}\)).

Градиенти в референтната и текущата конфигурация¶

Нотацията и смисълът се различават според конфигурацията, спрямо която се взема пространствена производна.

Градиент в референтната конфигурация \(\nabla_X = \partial / \partial \boldsymbol{X}\): градиент по материалните координати. Пример: \(\boldsymbol{F} = \partial \boldsymbol{x} / \partial \boldsymbol{X}\).
Градиент в текущата конфигурация \(\nabla_x = \partial / \partial \boldsymbol{x}\): градиент по пространствените координати. Пример: \(\boldsymbol{L} = \partial \boldsymbol{v} / \partial \boldsymbol{x}\).

Те са свързани чрез \(\nabla_X = \boldsymbol{F}^T \nabla_x\). За конвенцията при производните по времето (материалната производна по времето \(\dot{(\cdot)}\)) вижте Тензорна нотация и математически основи.

Описание на движението¶

Отображение на движението и материално/пространствено описание¶

Ако континуумът се разглежда като множество от материални точки, означени чрез положенията им \(0\) в момент \(\boldsymbol{X}\), движението се представя чрез отображението \(\boldsymbol{X}\), което съпоставя на всяка материална точка \(t\) нейното положение \(\boldsymbol{x}\) в момент \(\phi\):

\[ \boldsymbol{x} = \phi(\boldsymbol{X}, t) \]

При конвенцията, че референтната конфигурация е началната конфигурация, \(\boldsymbol{X} = \phi(\boldsymbol{X}, 0)\).

Според избора на независими променливи се разграничават два вида описание.

Материално описание (описание на Lagrange): физичните величини се представят като функции на \((\boldsymbol{X}, t)\). В механиката на твърдото тяло това е естествен избор, защото референтната конфигурация е зададена като фиксирана форма.
Пространствено описание (описание на Euler): физичните величини се представят като функции на \((\boldsymbol{x}, t)\). Това е стандартното описание в механиката на флуидите.

Структурният анализ във FrontISTR се основава по принцип на материалното описание, но методът Updated Lagrange използва и величини от пространственото описание, тъй като текущата конфигурация се използва като нова референтна конфигурация.

Преместване, скорост и ускорение¶

Както е посочено в предходния раздел, преместването \(\boldsymbol{u}\) се определя чрез \(\boldsymbol{u} = \boldsymbol{x} - \boldsymbol{X}\). Не се прави предположение за големината му, така че се включват и крайни деформации. Векторите на скоростта и ускорението се определят като материални производни по времето на \(\boldsymbol{u}\) при фиксирана материална точка:

\[ \boldsymbol{v} = \dot{\boldsymbol{u}}, \qquad \boldsymbol{a} = \dot{\boldsymbol{v}} = \ddot{\boldsymbol{u}} \]

Тези уравнения определят скоростта и ускорението.

Градиент на деформация и тензори на деформацията¶

Тензор на градиента на деформация¶

Основната величина в механиката на континуума при крайни деформации е тензорът на градиента на деформация \(\boldsymbol{F}\). Той е линейното отображение, което преобразува безкрайно малък линеен елемент \(d\boldsymbol{X}\) от референтната конфигурация в безкрайно малък линеен елемент \(d\boldsymbol{x}\) от текущата конфигурация, и се определя като градиента на отображението на движението по материалните координати:

\[ \boldsymbol{F} = \frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{X}} = \boldsymbol{I} + \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}, \qquad F_{ij} = \frac{\partial x_i}{\partial X_j} \]

При това определение (\(d\boldsymbol{x} = \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{X}\)) в недеформирано състояние \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I}\). \(\boldsymbol{F}\) се използва широко за определяне на деформации и напрежения и за преобразуване на физични величини между конфигурациите.

Отношение на обемите¶

Отношението между безкрайно малкия обем \(dV\) в референтната конфигурация и съответния безкрайно малък обем \(dv\) в текущата конфигурация се нарича отношение на обемите \(J\):

\[ J = \frac{dv}{dV} = \det \boldsymbol{F} \]

Обратимостта на континуума изисква \(J > 0\). Запазването на масата се изразява чрез \(\rho_0 = J\rho\).

Десен и ляв тензор на деформация на Cauchy-Green¶

Тъй като градиентът на деформация \(\boldsymbol{F}\) включва завъртането на твърдо тяло, мерките за самата деформация използват величини, от които това завъртане е отстранено. Десният тензор на деформация на Cauchy-Green \(\boldsymbol{C}\) (референтна конфигурация) и левият тензор на деформация на Cauchy-Green \(\boldsymbol{b}\) (текуща конфигурация) се определят като

\[ \boldsymbol{C} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F}, \qquad \boldsymbol{b} = \boldsymbol{F} \boldsymbol{F}^T \]

И двата са симетрични тензори и имат еднакви собствени стойности (квадратите на главните удължения). Главните инварианти на функциите на енергията на деформация при хипереластичност се изразяват чрез тези тензори.

Тензори на деформацията¶

Тензор на деформацията на Green-Lagrange¶

Като мярка за деформация, отнесена към референтната конфигурация, тензорът на деформацията на Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) се определя чрез

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{C} - \boldsymbol{I}) = \frac{1}{2}(\boldsymbol{F}^T \boldsymbol{F} - \boldsymbol{I}) \]

Той е симетричен тензор, представящ изменението на вътрешното произведение на безкрайно малки вектори в референтната конфигурация, инвариантен е при завъртане на твърдо тяло и удовлетворява \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{0}\) в недеформирано състояние. Използването на \(\boldsymbol{F} = \boldsymbol{I} + \partial \boldsymbol{u} / \partial \boldsymbol{X}\) дава

\[ \boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T + \left(\frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}}\right)^T \frac{\partial \boldsymbol{u}}{\partial \boldsymbol{X}} \right\} \]

Това изразява деформацията като сума от членове от първи и втори ред по градиента на преместването; членът от втори ред представлява геометричната нелинейност. В метода Total Lagrange той се използва като енергийно спрегнатата двойка \((\boldsymbol{S}, \boldsymbol{E})\).

Тензор на деформацията на Almansi¶

Като мярка за деформация, отнесена към текущата конфигурация, тензорът на деформацията на Almansi \(\boldsymbol{e}\) се определя чрез

\[ \boldsymbol{e} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{I} - \boldsymbol{b}^{-1}) \]

Той е свързан с деформацията на Green-Lagrange чрез \(\boldsymbol{E} = \boldsymbol{F}^T \boldsymbol{e}\, \boldsymbol{F}\) (обратно преобразуване).

Тензор на безкрайно малката деформация¶

Когато градиентът на преместването е малък (\(|\partial u_i / \partial X_j| \ll 1\)), членът от втори ред в деформацията на Green-Lagrange може да се пренебрегне. Тъй като тогава разграничението между двете конфигурации изчезва, тя се свежда до тензора на безкрайно малката деформация \(\boldsymbol{\varepsilon}\), като градиентът се записва в пространствени координати:

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}\left\{ \nabla \boldsymbol{u} + (\nabla \boldsymbol{u})^T \right\}, \qquad \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right) \]

FrontISTR използва тази мярка за деформация при линеен статичен анализ, модален анализ, анализ на честотната характеристика и линеен динамичен анализ. Анализът при крайни деформации използва \(\boldsymbol{E}\) в метода Total Lagrange и тензора на скоростта на деформация \(\boldsymbol{D}\), отнесен към текущата конфигурация, в метода Updated Lagrange.