Разширени формулировки на елементи¶

Стандартната формулировка, базирана на премествания, представена в Формулировка на триизмерни обемни елементи, проявява изкуствено завишена коравина, известна като блокиране (обемно или срязващо блокиране), когато се прилага към почти несвиваеми материали или тънкостенни конструкции с преобладаващо огъване. За избягването му FrontISTR разполага с методите B-bar и F-bar, които заменят само обемната част на матрицата B или на градиента на деформацията; несъвместими елементи с вътрешни степени на свобода; смесени u-p (U-P) елементи, при които налягането е независимо неизвестно поле; както и MITC черупкови и гредови елементи, специализирани за плочи и греди.

В тази глава формулировките на тези разширени и конструктивни елементи са систематизирани по вид елемент.

Метод B-bar¶

При използване на 8-възлов линеен хексаедричен елемент за почти несвиваем материал полето на деформациите в един елемент може да противоречи на условието за постоянен обем, което води до прекомерна коравина, известна като обемно блокиране. Методът B-bar намалява това свръхограничаване, като заменя компонентите на матрицата B, допринасящи за обемното разширение, със стойностите им, изчислени в центъра на елемента [Hughes1980].

Нека в центъра на елемента \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\) матрицата B, изчислена от пространствените производни на форм-функциите, бъде \(\bar{\boldsymbol{B}}\), а в интеграционна точка \(\boldsymbol{r}\) обичайната матрица B бъде \(\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})\). В зависимостта преместване–деформация за възел \(\alpha\) и степен на свобода \(i\) към компонентите на обемната деформация \((\varepsilon_{11}, \varepsilon_{22}, \varepsilon_{33})\) се добавя

\[ \Delta B_{i\alpha} = \tfrac{1}{3}\bigl(\bar{B}_{i\alpha}(\boldsymbol{0}) - B_{i\alpha}(\boldsymbol{r})\bigr) \]

а за срязващите компоненти \((\varepsilon_{12}, \varepsilon_{23}, \varepsilon_{31})\) се използва обичайната \(\boldsymbol{B}\). Елементната матрица на коравината и векторът на вътрешните сили се сглобяват с получената B-bar матрица.

FrontISTR предоставя тази формулировка специално за 8-възловия линеен хексаедричен елемент (елемент ID 361; система за номериране на елементите) и тя може да се прилага при малки деформации, както и във формулировките Total Lagrange и Updated Lagrange.

Метод F-bar¶

При крайни деформации изменението на обема влияе нелинейно чрез градиента на деформацията \(\boldsymbol{F}\). Методът F-bar [deSouzaNeto1996] прилага на нивото на градиента на деформацията мярка срещу обемното блокиране, аналогична на метода B-bar.

Нека обемното отношение на градиента на деформацията, изчислено в центъра на елемента \(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{0}\), бъде \(J_0 = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{0})\), а обемното отношение в интеграционна точка бъде \(J = \det \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})\). Градиентът на деформацията в интеграционната точка се заменя с

\[ \bar{\boldsymbol{F}} = \left(\frac{J_0}{J}\right)^{1/3} \boldsymbol{F} \]

Така се получава \(\det \bar{\boldsymbol{F}} = J_0\), тоест обемното отношение в целия елемент се уеднаквява със стойността в центъра на елемента. За оценяване на напреженията и построяване на матрицата деформация–преместване се използва замененият \(\bar{\boldsymbol{F}}\), а тангенциалната коравина на елемента включва допълнителните членове, произтичащи от тази замяна.

В FrontISTR методът F-bar е реализиран специално за 8-възловия линеен хексаедричен елемент и може да се прилага при малки деформации, както и при нелинейна геометрия по Total Lagrange / Updated Lagrange.

Несъвместими елементи¶

8-възловият линеен хексаедричен елемент няма необходимите деформационни моди за огъване и при задачи с преобладаващо огъване проявява огъващо блокиране. Несъвместимите елементи [Taylor1976] въвеждат допълнителни моди на преместване вътре в елемента, за да компенсират този недостатък.

Освен възловите премествания на елемента \(\boldsymbol{u}^e\) се въвеждат степени на свобода на несъвместимите моди \(\boldsymbol{\alpha} \in \mathbb{R}^{9}\), съществуващи само вътре в елемента — 3 направления × 3 моди на елемент — и полето на преместванията се апроксимира като

\[ \boldsymbol{u}(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha=1}^{8} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha + \sum_{k=1}^{3} M_k(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{\alpha}_k \]

За естествени координати \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\) несъвместимите форм-функции се задават като \(M_1 = 1 - \xi^2\), \(M_2 = 1 - \eta^2\) и \(M_3 = 1 - \zeta^2\). Те не гарантират непрекъснатост по границите между елементите, но добавят вътрешно пространство, способно да възпроизвежда деформациите, свързани с огъващите моди.

Елементната коравина първо се сглобява в блокова форма за външните и вътрешните степени на свобода

\[ \begin{bmatrix} \boldsymbol{K}_{dd} & \boldsymbol{K}_{d\alpha} \\ \boldsymbol{K}_{\alpha d} & \boldsymbol{K}_{\alpha\alpha} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u}^e \\ d\boldsymbol{\alpha} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{F}^e_{\text{ext}} \\ \boldsymbol{0} \end{bmatrix} \]

След сглобяването в тази форма вътрешните степени на свобода се елиминират чрез статична кондензация, като \(d\boldsymbol{\alpha} = -\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\boldsymbol{K}_{\alpha d}\,d\boldsymbol{u}^e\), и се получава елементна коравина само за външните степени на свобода

\[ \boldsymbol{K}^e = \boldsymbol{K}_{dd} - \boldsymbol{K}_{d\alpha}\,\boldsymbol{K}_{\alpha\alpha}^{-1}\,\boldsymbol{K}_{\alpha d} \]

която се предава към глобалното сглобяване.

В FrontISTR несъвместимият елемент е реализиран специално за 8-възловия линеен хексаедричен елемент (C3D8IC) и може да се прилага при малки деформации, Total Lagrange и Updated Lagrange.

Смесени U-P елементи¶

Докато методите B-bar и F-bar коригират обемния компонент в рамките на формулировка, базирана на премествания, смесеният u-p (U-P) елемент използва смесена формулировка [Bathe1996], която въвежда налягането \(\lambda\) като неизвестно поле, независимо от преместването. При почти несвиваеми материали, например гумоподобни материали с коефициент на Поасон много близък до 0.5 или метали след пластична деформация, налагането на условието за постоянен обем само чрез полето на преместванията води до обемно блокиране; разглеждането на налягането като независима променлива отслабва това ограничение.

Напрежението се разделя на девиаторен компонент и налягане:

\[ \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} + \lambda\,\boldsymbol{I}, \qquad \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{dev}} = \mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\,\boldsymbol{\varepsilon} \]

Тук \(\mathbf{D}_{\mathrm{dev}}\) е девиаторната еластична матрица, получена чрез отстраняване от еластичната матрица на обемната част, пропорционална на обемния модул \(K\). Налягането \(\lambda\) и обемната деформация \(g = \mathrm{tr}\,\boldsymbol{\varepsilon}\) са свързани чрез условието с компресибилност \(\alpha^{-1} = 1/K\)

\[ g - \alpha^{-1}\lambda = 0 \]

Дискретизацията с преместване \(\boldsymbol{u}\) и налягане \(\lambda\) като неизвестни води до свързаната елементна система

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{K}_{uu} & \mathbf{K}_{up} \\ \mathbf{K}_{up}^{T} & \mathbf{K}_{pp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d\boldsymbol{u} \\ d\lambda \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{f}_{u} \\ \boldsymbol{f}_{p} \end{bmatrix} \]

където \(\mathbf{K}_{uu}\) съдържа девиаторния еластичен принос и, при крайни деформации, геометричната коравина; \(\mathbf{K}_{up}\) свързва обемната деформация и налягането; а \(\mathbf{K}_{pp} = -\int \alpha^{-1}\,\boldsymbol{N}_p \boldsymbol{N}_p^{T}\,dV\) е стабилизиращият член за налягането (\(\boldsymbol{N}_p\) е форм-функцията на налягането). Тъй като степените на свобода на налягането са вътрешни за елемента,

\[ \mathbf{K}_{\mathrm{eff}} = \mathbf{K}_{uu} - \mathbf{K}_{up}\,\mathbf{K}_{pp}^{-1}\,\mathbf{K}_{up}^{T} \]

се извършва статична кондензация в тази форма и към глобалното сглобяване се предава ефективната коравина само за външните (преместващи) степени на свобода.

В FrontISTR U-P елементът е реализиран специално за 8-възловия линеен хексаедричен елемент, с една степен на свобода за налягането на елемент (постоянна в елемента). Той може да се прилага при малки деформации, Total Lagrange и Updated Lagrange. При Updated Lagrange девиаторното напрежение се актуализира чрез обективна скорост на напрежението (тип Jaumann/Hughes-Winget), след което налягането \(\lambda\,\boldsymbol{I}\) се налага от стойността, получена чрез статична кондензация.

Черупкови елементи¶

За тънкостенни плочести и черупкови конструкции се използват черупкови елементи, базирани на теорията на Reissner-Mindlin. При намаляване на дебелината нискоразредните плочести/черупкови елементи, базирани на премествания, надценяват напречната срязваща деформация чрез механизъм, аналогичен на обемното блокиране (срязващо блокиране), което води до прекомерно увеличаване на коравината при огъващи моди. Методът MITC (Mixed Interpolation of Tensorial Components) [Dvorkin1984] [Bathe1986] избягва този проблем, като преизчислява само компонентите на срязващата деформация в предварително зададени свързващи точки в елемента и интерполира получените стойности обратно в елемента.

Възлите на MITC черупковия елемент лежат върху срединната повърхнина и всеки възел има шест степени на свобода: три транслационни компонента и три ротационни компонента спрямо координатната система на нормалата към срединната повърхнина. Елементната коравина се оценява чрез тримерно гаусово интегриране по естествените координати на срединната повърхнина и по дебелината, а дебелината \(h\) се задава като свойство на елемента при изчисляване на конститутивната зависимост.

FrontISTR предоставя MITC3 (елемент ID 731), MITC4 (741) и MITC9 (743), представени с един слой на срединната повърхнина, както и слоести черупкови елементи MITC3-shell361 (761, 3\(\times\)2 възела, 3 степени на свобода на възел) и MITC4-shell361 (781, 4\(\times\)2 възела, 3 степени на свобода на възел), чиито възли са разположени в два слоя по дебелината. При слоестите черупкови елементи възловите степени на свобода са само трите транслационни компонента, а огъващите моди, съответстващи на ротационните степени на свобода, се представят чрез двуслойното разположение.

Гредови елементи¶

Линейни конструктивни членове като греди и рамки се дискретизират с гредови елементи. FrontISTR използва формулировка на греда на Timoshenko, която отчита срязващата деформация и описва както огъването, така и срязването като функции на транслационните и ротационните степени на свобода.

Всеки възел на гредов елемент има шест степени на свобода: три транслационни компонента и три ротационни компонента около оста на гредата и напречните оси. Елементната коравина се оценява чрез едномерно числено интегриране по оста на гредата. Площта на напречното сечение \(A\) и вторите моменти на площта \(I\) в направленията на огъване и усукване се задават като свойства на напречното сечение, а заедно с модула на Young \(E\) и модула на срязване \(G\) на материала определят коравините при опън/натиск, огъване, усукване и срязване.

FrontISTR предоставя 2-възлов прав гредов елемент (елемент ID 611) и 4-възлов тетраедричен хибриден обемно-гредов елемент, представен с 3 възела (641, за смесени степени на свобода).

Свързани теми¶

Формулировка на триизмерни обемни елементи — сравнение със стандартната формулировка
Система за номериране на елементите и библиотека с форм-функции — ID на типовете елементи
Библиотека от елементи (функции) — насоки за избор на елемент