Функции на формата за 3D обемни елементи¶

Тази глава обобщава естествените координатни системи и явните форми на функциите на формата \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), въведени в Функции на формата и апроксимация с крайни елементи, за тримерните обемни елементи, използвани от FrontISTR при анализ на континуум. Шестте типа елементи са тетраедри от първи/втори ред (341/342), триъгълни призми от първи/втори ред (351/352) и хексаедри от първи/втори ред (361/362). За подредбата на възлите и номерата на лицата във формата за мрежа HEC-MW вижте Библиотека с елементи във функционалния справочник.

Процедурата за построяване на интегрирането по елемент от тези функции на формата и детерминантата на Якобиана следва Числено интегриране. Формулировките B-bar, F-bar и incompatible за 361, както и функциите на формата за гредови и черупкови елементи, са разгледани в Разширени формулировки на елементи.

Естествени координатни системи и вътрешна подредба на възлите¶

Функциите на формата се дефинират в естествените координати \(\boldsymbol{r}\) на всеки елемент. Тримерните обемни елементи използват следните три естествени координатни системи според формата на елемента.

Хексаедри (361/362): \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\), \(-1 \le \xi, \eta, \zeta \le 1\).
Тетраедри (341/342): обемни координати \((L_1, L_2, L_3, L_4)\), при \(L_1 + L_2 + L_3 + L_4 = 1\) и \(L_i \ge 0\). Като независими променливи се приемат \(\boldsymbol{r} = (L_2, L_3, L_4)\), а \(L_1 = 1 - L_2 - L_3 - L_4\).
Триъгълни призми (351/352): комбинират обемните координати \((\xi, \eta)\) на основния триъгълник (\(0 \le \xi, \eta\), \(\xi + \eta \le 1\)) с аксиалната координата \(\zeta \in [-1, 1]\), така че \(\boldsymbol{r} = (\xi, \eta, \zeta)\). Спомагателната величина \(a = 1 - \xi - \eta\) се използва като трета обемна координата върху основата.

При елементите от първи ред номерацията на възлите на елемента е еднаква във входния формат HEC-MW и във вътрешния формат. При елементите от втори ред конвенциите за подреждане на междинните възли по ръбовете се различават. FrontISTR приема като вход формата HEC-MW (ъгловите възли се изброяват около елемента, следвани от междинните възли по реда на ръбовете 1-2, 2-3, …), докато функциите на формата в библиотеката с елементи са реализирани при друга подредба на възлите.

Разликата между двата формата се отстранява от hecmw2fstr_mesh_conv, извикван непосредствено след въвеждането на мрежата, който пренарежда възлите за всеки елемент. Сред тримерните обемни елементи се преобразуват следните два типа.

Тип елемент	Таблица за преобразуване	Описание
342 (тетраедър от втори ред)	`Table342`	Пренарежда 10-те възела до \(\{1,2,3,4,7,5,6,8,9,10\}\)
352 (триъгълна призма от втори ред)	`Table352`	Пренарежда 15-те възела до \(\{1,2,3,4,5,6,9,7,8,12,10,11,13,14,15\}\)

Тъй като пренареждането се извършва директно върху масива, съдържащ свързаността на елементите, всички последващи извиквания към библиотеката с елементи използват вътрешната подредба на възлите на FrontISTR. За хексаедричния елемент от втори ред 362 няма таблица за преобразуване, защото подредбата на междинните възли във входа HEC-MW и във вътрешния формат на FrontISTR е еднаква. При извеждане на резултатите обратното преобразуване fstr2hecmw_mesh_conv възстановява подредбата на възлите HEC-MW преди запис, така че потребителите трябва да познават само формата HEC-MW както за вход, така и за изход. Номерата на възлите във функциите на формата по-долу използват преобразувания вътрешен формат на FrontISTR.

Функции на формата за елементи от първи ред¶

За тетраедричния елемент от първи ред (341) функциите на формата са самите обемни координати:

\[ N_1 = L_1, \qquad N_2 = L_2, \qquad N_3 = L_3, \qquad N_4 = L_4. \]

За елемента триъгълна призма от първи ред (351) функциите на формата са произведения на линейните функции на формата на основния триъгълник (\(a, \xi, \eta\)) и линейните аксиални функции на формата (\((1-\zeta)/2, (1+\zeta)/2\)):

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta), & N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta), & N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta). \end{aligned} \]

За хексаедричния елемент от първи ред (361) функциите на формата са тензорни произведения на линейните функции на формата по трите координатни направления:

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta), \qquad \alpha = 1, \ldots, 8. \]

Тук \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\) са стойностите на естествените координати на възел \(\alpha\) (всяка компонента е \(\pm 1\)).

Функции на формата за елементи от втори ред¶

За тетраедричния елемент от втори ред (342) функциите на формата се разделят на четири ъглови възела и шест междинни възела по ръбовете:

\[ \begin{aligned} N_1 &= L_1(2L_1 - 1), & N_2 &= L_2(2L_2 - 1), \\ N_3 &= L_3(2L_3 - 1), & N_4 &= L_4(2L_4 - 1), \\ N_5 &= 4\,L_1 L_2, & N_6 &= 4\,L_2 L_3, \\ N_7 &= 4\,L_1 L_3, & N_8 &= 4\,L_1 L_4, \\ N_9 &= 4\,L_2 L_4, & N_{10} &= 4\,L_3 L_4. \end{aligned} \]

Междинните възли 5–10 съответстват съответно на средите на ръбове 1-2, 2-3, 1-3, 1-4, 2-4 и 3-4.

Елементът триъгълна призма от втори ред (352) се състои от шест ъглови възела, шест междинни възела върху триъгълните лица и три междинни възела върху аксиалните ръбове:

\[ \begin{aligned} N_1 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1-\zeta)(2a - 2 - \zeta), & N_2 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1-\zeta)(2\xi - 2 - \zeta), \\ N_3 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1-\zeta)(2\eta - 2 - \zeta), & N_4 &= \tfrac{1}{2}\, a\,(1+\zeta)(2a - 2 + \zeta), \\ N_5 &= \tfrac{1}{2}\, \xi\,(1+\zeta)(2\xi - 2 + \zeta), & N_6 &= \tfrac{1}{2}\, \eta\,(1+\zeta)(2\eta - 2 + \zeta), \\ N_7 &= 2\,\xi\, a\,(1-\zeta), & N_8 &= 2\,\xi\, \eta\,(1-\zeta), \\ N_9 &= 2\,\eta\, a\,(1-\zeta), & N_{10} &= 2\,\xi\, a\,(1+\zeta), \\ N_{11} &= 2\,\xi\, \eta\,(1+\zeta), & N_{12} &= 2\,\eta\, a\,(1+\zeta), \\ N_{13} &= a\,(1 - \zeta^2), & N_{14} &= \xi\,(1 - \zeta^2), \\ N_{15} &= \eta\,(1 - \zeta^2). \end{aligned} \]

Междинните възли 7–9 съответстват на средите на ръбовете на долния триъгълник (\(\zeta = -1\)), възли 10–12 — на средите на ръбовете на горния триъгълник (\(\zeta = +1\)), а възли 13–15 — на средите на аксиалните ръбове.

Хексаедричният елемент от втори ред (362) е 20-възлов елемент от фамилията Serendipity. Нека стойностите на естествените координати на възел \(\alpha\) бъдат \((\xi_\alpha, \eta_\alpha, \zeta_\alpha)\). За ъгловите възли (\(\alpha = 1, \ldots, 8\), като всяка компонента е \(\pm 1\)),

\[ N_\alpha = -\tfrac{1}{8}\,(1+\xi_\alpha \xi)(1+\eta_\alpha \eta)(1+\zeta_\alpha \zeta)\bigl(2 - \xi_\alpha \xi - \eta_\alpha \eta - \zeta_\alpha \zeta\bigr). \]

За междинните възли (\(\alpha = 9, \ldots, 20\), като една от трите естествени координати е равна на \(0\), а другите две са \(\pm 1\)), възлите с \(\xi_\alpha = 0\) (ръбове, ориентирани по направлението \(\xi\)) имат

\[ N_\alpha = \tfrac{1}{4}\,(1 - \xi^2)(1 + \eta_\alpha \eta)(1 + \zeta_\alpha \zeta). \]

Междинните възли, чието направление на ръба е оста \(\eta\) или \(\zeta\), се задават аналогично, като съответната естествена координата се елиминира чрез квадратичния член.

Свързани теми¶

Функции на формата и апроксимация с крайни елементи — Математическо определение на функциите на формата \(N_\alpha^e\)
Пространствени производни на функциите на формата — Производни на функциите на формата по глобалните координати и Якобиан
Числено интегриране — Интеграционни точки, тегла и приближено интегриране по елемент
Разширени формулировки на елементи — B-bar, F-bar, incompatible елементи, черупки и греди
Библиотека с елементи (функции) — Подредба на възлите и номера на лицата във формат HEC-MW
Списък на символите за физични величини