Числено интегриране¶

Векторите на вътрешните сили на елемента \(\boldsymbol{q}^e, \boldsymbol{Q}^e\) и матрицата на коравината на елемента \(\boldsymbol{K}^e\), получени в Дискретизация на вътрешната виртуална работа и Външна виртуална работа и сглобяване на глобалното уравнение, имат вид на интеграли върху областта на елемента \(\Omega^e\) или \(\Omega^e_0\). FrontISTR ги изчислява числено чрез квадратура на Гаус.

Квадратура на Гаус и смяна на променливите¶

Квадратурата на Гаус апроксимира интеграл върху референтната област \(\Xi\) чрез линейна комбинация от стойностите на подинтегралната функция в интеграционните точки \(\boldsymbol{\xi}_i \in \Xi\) и теглата \(w_i\). Прилагането ѝ към областта на елемента \(\Omega^e\) включва смяна на променливите чрез преобразуването \(\boldsymbol{x}: \Xi \to \Omega^e\), което дава

\[ \int_{\Omega^e} f(\boldsymbol{x})\, dv \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, f(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\xi}_i))\, J_{\xi_i}, \qquad J_{\xi_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{\xi}}\right)\right|_{\boldsymbol{\xi}_i} \]

където \(n_q\) е броят на интеграционните точки, а \(J_{\xi_i}\) е детерминантата на Якобиана на преобразуването. Референтната област \(\Xi\) се определя за всеки тип елемент (за хексаедър \([-1,1]^3\); за триъгълници, тетраедри и призми — съответните референтни форми), а интеграционните точки \(\boldsymbol{\xi}_i\) и теглата \(w_i\) са зададени като числови таблици. Повърхнинните интеграли се обработват по същия начин чрез преобразуване на лице на елемент от двумерна референтна област.

По-долу са показани представителни стойности за броя на интеграционните точки, използвани от FrontISTR (за съответствието с типовете елементи вижте Схема за номериране на елементите и библиотека с функции на формата).

Тип елемент	Квадратурна формула	Брой интеграционни точки
4-възлов тетраедър (`tet4n`)	1-точкова формула	1
10-възлов тетраедър (`tet10n`)	4-точкова формула	4
6-възлова триъгълна призма (`prism6n`)	2-точкова формула	2
15-възлова триъгълна призма (`prism15n`)	9-точкова формула	9
8-възлов хексаедър (`hex8n`)	2×2×2 Гаус–Лежандр	8
20-възлов хексаедър (`hex20n`)	3×3×3 Гаус–Лежандр	27
4-възлов четириъгълник (`quad4n`)	2×2 Гаус–Лежандр	4
8-възлов четириъгълник (`quad8n`)	3×3 Гаус–Лежандр	9
3-възлов триъгълник (`tri3n`)	1-точкова формула	1
6-възлов триъгълник (`tri6n`)	3-точкова формула	3

За хексаедрични, четириъгълни и линейни елементи се използват тензорни произведения на квадратурата на Гаус–Лежандр по всяко координатно направление. За триъгълници, тетраедри и триъгълни призми се използват специализирани формули, подходящи за геометрии от симплексен тип (разположения на точки, които интегрират точно полиноми върху самия триъгълник).

Приложение към интегрирането по елемент¶

При интегриране по елемент естествените координати \(\boldsymbol{r}\) се използват като координати на референтната област (\(\boldsymbol{r} = \boldsymbol{\xi}\)), а преобразуването към физическите координати се задава чрез интерполация на възловите координати с функциите на формата. В зависимост от избора на референтна конфигурация (Рамка на инкременталния анализ) се използват следните формулировки.

Метод на Total Lagrangian (интегриране върху референтната конфигурация \(\Omega^e_0\)): преобразуването и Якобианът са

\[ \boldsymbol{X}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

а вътрешната сила на елемента и матрицата на коравината се апроксимират като

\[ \boldsymbol{Q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T\, \boldsymbol{S}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

Всички величини \(\boldsymbol{B}_L, \boldsymbol{B}_{NL}, \boldsymbol{S}, \boldsymbol{K}^e_{x}\) се оценяват в интеграционната точка \(\boldsymbol{r}_i\).

Метод на Updated Lagrangian (интегриране върху текущата конфигурация \(\Omega^e\)): преобразуването и Якобианът са

\[ \boldsymbol{x}^e(\boldsymbol{r}) = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{x}^e_\alpha = \sum_{\alpha} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, (\boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha), \qquad J_{r_i} = \left.\det\!\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)\right|_{\boldsymbol{r}_i} \]

\[ \boldsymbol{q}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{B}_L^T\, \boldsymbol{\sigma}\, J_{r_i}, \qquad \boldsymbol{K}^e \approx \sum_{i=1}^{n_q} w_i\, \boldsymbol{K}^e_{x}\, J_{r_i} \]

се използват като апроксимации.

Единствената разлика между двете формулировки е дали възловите координати, подадени към преобразуването, са \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) или \(\boldsymbol{x}^e_\alpha\); интеграционните точки, теглата и структурата на цикъла по интеграционните точки са общи.

Пълно и редуцирано интегриране¶

Интегрирането с достатъчен брой интеграционни точки за точно интегриране на полиномиалната степен на подинтегралната функция се нарича пълно интегриране, а интегрирането с едно ниво по-малък брой интеграционни точки — редуцирано интегриране. Редуцираното интегриране се използва за намаляване на срязващото и обемното заключване, но изисква обработка на паразитни модове на деформация, като hourglass модовете. Броят на интеграционните точки за всеки тип елемент и изборът между пълно и редуцирано интегриране са разгледани в Схема за номериране на елементите и библиотека с функции на формата и следващите раздели, както и в Разширени формулировки на елементи.

Свързани теми¶

Пространствени производни на функциите на формата — Изчисляване на Якобиана
Дискретизация на вътрешната виртуална работа — Величини, оценявани чрез числено интегриране
Разширени формулировки на елементи — Използване на редуцирано интегриране