Дискретизация на вътрешната виртуална работа¶

Уравнението за виртуалната работа в момент \(t + \Delta t\), представено в Рамка на инкременталния анализ, има две форми — формулировките Updated Lagrange и Total Lagrange — в зависимост от избора на референтна конфигурация. В тази глава апроксимацията с крайни елементи, въведена във Функции на формата и апроксимация с крайни елементи и Пространствени производни на функциите на формата, се използва за пространствена дискретизация на вътрешната виртуална работа при двете формулировки и за получаване на векторите на вътрешните сили на елемента \(\boldsymbol{q}^e\) (UL) и \(\boldsymbol{Q}^e\) (TL).

За елемент \(e\) нека съставящите го възли бъдат \(\alpha = 1, \ldots, n_e\); нека преместванията бъдат \(\boldsymbol{u}^e_\alpha\), а възловият вектор на преместванията на елемента се подреди като \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\). Виртуалното преместване \(\delta \boldsymbol{u}^e\) се дефинира в същия ред. Преместването в елемента се интерполира чрез функциите на формата като \(\boldsymbol{u} = \sum_\alpha N_\alpha^e \boldsymbol{u}^e_\alpha\).

Вътрешна виртуална работа във формулировката Updated Lagrange¶

Във формулировката Updated Lagrange в момент \(t\) текущата конфигурация \({}^{t}\Omega\) се използва като референтна конфигурация, а вътрешната виртуална работа се записва чрез напрежението на Коши \(\boldsymbol{\sigma}\) и линейната част на деформацията на Алманзи \(\boldsymbol{A}_{(L)}\) като

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e} \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{A}_{(L)}\, dv \]

Всяка компонента на \(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\) може да се изрази чрез координатите на текущата конфигурация \(\boldsymbol{x}\) като линейна комбинация от производните на функциите на формата \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) и възловите виртуални премествания \(\delta u^e_{i\alpha}\). В нотация на Voigt това може да се събере като

\[ \delta \boldsymbol{A}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_L = [\boldsymbol{B}_{L1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{Ln_e}] \]

Възловият блок \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\) се образува чрез подреждане на \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) съгласно конвенцията на Voigt в матрица \(6 \times 3\), а \(\boldsymbol{B}_L\) е матрицата деформация–преместване за формулировката UL. Замествайки това във вътрешната виртуална работа и изнасяйки \(\delta \boldsymbol{u}^e\), получаваме

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{q}^e, \qquad \boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv \]

За \(\boldsymbol{q}^e\) възловият блок \(\boldsymbol{q}^e_\alpha = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_{L\alpha}^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\) е вътрешната сила на елемента \(\Omega^e\), действаща върху съставящия възел \(\alpha\).

Вътрешна виртуална работа във формулировката Total Lagrange¶

Във формулировката Total Lagrange началната конфигурация \(\Omega_0\) се използва като референтна конфигурация, а вътрешната виртуална работа се записва чрез второто напрежение на Пиола–Кирхоф \(\boldsymbol{S}\) и деформацията на Грийн–Лагранж \(\boldsymbol{E}\) като

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \int_{\Omega^e_0} \boldsymbol{S} : \delta \boldsymbol{E}\, dV \]

Вариацията \(\delta \boldsymbol{E}\) се разделя на член, линеен по виртуалното преместване, и нелинеен член, съдържащ произведения с текущия градиент на преместването \(\partial u_k/\partial X_j\):

\[ \delta E_{(L)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_i}{\partial X_j} + \frac{\partial \delta u_j}{\partial X_i} \right), \quad \delta E_{(NL)ij} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial u_k}{\partial X_j} + \frac{\partial u_k}{\partial X_i}\, \frac{\partial \delta u_k}{\partial X_j} \right). \]

Линейният член може да се запише чрез прилагане към \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\) на същото правило за подреждане, както във формулировката UL, което дава възловия блок \(\boldsymbol{B}_{L\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(L)} = \boldsymbol{B}_L\, \delta \boldsymbol{u}^e \]

Поради различната референтна конфигурация само съставящите производни се променят от \(\partial N_\alpha^e/\partial x_i\) към \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\); използва се същият символ като във формулировката UL. Нелинейният член използва произведения от текущия градиент на преместването \(\partial u_k/\partial X_j\) и \(\partial N_\alpha^e/\partial X_i\), подредени съгласно конвенцията на Voigt за образуване на възловия блок \(\boldsymbol{B}_{NL\alpha}\):

\[ \delta \boldsymbol{E}_{(NL)} = \boldsymbol{B}_{NL}\, \delta \boldsymbol{u}^e, \qquad \boldsymbol{B}_{NL} = [\boldsymbol{B}_{NL1}, \ldots, \boldsymbol{B}_{NLn_e}] \]

Следователно \(\delta \boldsymbol{E} = (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})\, \delta \boldsymbol{u}^e\), а \(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) е матрицата деформация–преместване за формулировката TL. Замествайки това във вътрешната виртуална работа, получаваме

\[ \delta W^{\mathrm{int}} = \sum_e \delta \boldsymbol{u}^{eT}\, \boldsymbol{Q}^e, \qquad \boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV \]

Възловият блок \(\boldsymbol{Q}^e_\alpha\) е вътрешната сила на елемента \(\Omega^e_0\), действаща върху съставящия възел \(\alpha\).

Съответствие между UL/TL и изчислителен процес¶

Векторите на вътрешните сили на елемента във формулировките Updated Lagrange и Total Lagrange съответстват по следния начин.

Позиция	Формулировка Updated Lagrange	Формулировка Total Lagrange
Референтна конфигурация	Текуща конфигурация \({}^{t}\Omega^e\)	Начална конфигурация \(\Omega^e_0\)
Тензор на напрежението	Напрежение на Коши \(\boldsymbol{\sigma}\)	Второ PK напрежение \(\boldsymbol{S}\)
Вариация на деформацията	\(\delta \boldsymbol{A}_{(L)}\)	\(\delta \boldsymbol{E} = \delta \boldsymbol{E}_{(L)} + \delta \boldsymbol{E}_{(NL)}\)
Матрица B	\(\boldsymbol{B}_L\) (\(\partial N/\partial x\))	\(\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL}\) (\(\partial N/\partial X\), \(\partial u/\partial X\))
Вътрешна сила на елемента	\(\boldsymbol{q}^e = \int_{\Omega^e} \boldsymbol{B}_L^T \boldsymbol{\sigma}\, dv\)	\(\boldsymbol{Q}^e = \int_{\Omega^e_0} (\boldsymbol{B}_L + \boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\, dV\)

И двете се обработват по една и съща процедура: \(\boldsymbol{B}_L\) се построява от пространствените производни на функциите на формата; при формулировката TL \(\boldsymbol{B}_{NL}\) се построява от текущия градиент на преместването и се добавя; напрежението (\(\boldsymbol{\sigma}\) или \(\boldsymbol{S}\)) се актуализира според конститутивния закон; след това \(\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{\sigma}\) или \((\boldsymbol{B}_L+\boldsymbol{B}_{NL})^T \boldsymbol{S}\) се интегрира числено върху областта на елемента в интеграционните точки (Числено интегриране). С изключение на превключването на референтната конфигурация (възлови координати и построяване на матрицата \(\boldsymbol{B}\)) и замяната на тензора на напрежението, обработката е обща, така че FrontISTR реализира изчисленията на вътрешните сили за двете формулировки чрез общи подпрограми. Сглобяването на векторите на вътрешните сили на елементите \(\boldsymbol{q}^e\) и \(\boldsymbol{Q}^e\) в глобалния вектор на вътрешните сили е разгледано във Външна виртуална работа и сглобяване на глобалните уравнения.

Свързани теми¶

Принцип на виртуалната работа — Начално уравнение
Рамка на инкременталния анализ — Определение на клоновете TL/UL
Пространствени производни на функциите на формата — Компоненти на матрицата B
Външна виртуална работа и сглобяване на глобалните уравнения — Към глобалния вектор на вътрешните сили
Матрица на тангенциалната коравина — Линеаризация чрез производната по времето на вътрешната сила
Списък на символите за физични величини