Пространствени производни на функциите на формата¶

Функциите на формата \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\), въведени във Функции на формата и апроксимация с крайни елементи, са зададени като функции на естествените координати \(\boldsymbol{r}\), които са локалните координати на елемента. От друга страна, чрез зависимостта деформация–преместване подинтегралните функции в слабата форма съдържат частни производни по физическите координати (референтната конфигурация \(\boldsymbol{X}\) или текущата конфигурация \(\boldsymbol{x}\)), а именно \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{X}\) или \(\partial N_\alpha^e/\partial \boldsymbol{x}\). В този раздел е систематизирана процедурата за изчисляване на тези пространствени производни на функциите на формата от възловите координати на елемента и производните по естествените координати.

Изразяване на пространствените производни чрез правилото за верижно диференциране¶

При прилагане на правилото за верижно диференциране към интерполационната формула \(\boldsymbol{X} = \sum_\alpha N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\,\boldsymbol{X}^e_\alpha\) (предишния раздел) и използване на матрицата на Якоби \(J_{ij} = \partial X_i/\partial r_j\) на преобразуването от естествени към физически координати се получава

\[ \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{X}} = \frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}}\,\left(\frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}}\right)^{-1} \]

Тук \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) и \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) са матрици, в които ред \(\alpha\) представя вектора на частните производни за възел \(\alpha\); всяка от тях е матрица с размер \(n_e \times 3\).

Построяване на матрицата на Якоби¶

Диференцирането на интерполационната формула по \(\boldsymbol{r}\) дава

\[ \frac{\partial \boldsymbol{X}}{\partial \boldsymbol{r}} = \left[\boldsymbol{X}^e_1, \ldots, \boldsymbol{X}^e_{n_e}\right]\frac{\partial \boldsymbol{N}^e}{\partial \boldsymbol{r}} \]

Следователно матрицата на Якоби може да се построи директно от възловите координати на елемента \(\boldsymbol{X}^e_\alpha\) и производните по естествените координати \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Производните по естествените координати се определят от функционалната форма на функциите на формата и са предварително реализирани за всеки тип елемент.

Детерминантата на матрицата на Якоби \(\det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\) се използва при численото интегриране за преобразуване на обемния елемент като \(dV = \det(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})\,d\boldsymbol{r}\). Ако детерминантата стане \(0\), елементът е дегенерирал и изчислението се проваля.

Изчислителен процес¶

От извода по-горе изчисляването на пространствените производни \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) може да се раздели на следните четири етапа.

Изчисляване на производните по естествените координати: Като вход се използват типът на елемента и естествените координати \(\boldsymbol{r}\) на точката на оценяване и се изчислява матрицата на производните по естествените координати \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\). Тъй като функционалната форма на функциите на формата се различава според типа на елемента, обработката се разклонява според типа.
Изчисляване на матрицата на Якоби: От възловите координати на елемента \(\boldsymbol{X}^e\) и \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) се построява матрицата на Якоби \(\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r}\) чрез уравнението от предишния раздел.
Изчисляване на обратната матрица и детерминантата: Изчисляват се обратната матрица \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) и детерминантата на матрицата на Якоби. Детерминантата се използва като тегловен множител при численото интегриране.
Изчисляване на пространствените производни: От \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{r}\) и \((\partial \boldsymbol{X}/\partial \boldsymbol{r})^{-1}\) пространствените производни \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{X}\) се получават като техен продукт.

Тези четири етапа се разклоняват според типа на елемента и пространственото измерение (две или три измерения), но общият процес е един и същ.

Общо третиране на референтната и текущата конфигурация¶

Горната процедура може да се приложи и чрез проста замяна на \(\boldsymbol{X}^e\) с текущите възлови координати \(\boldsymbol{x}^e_\alpha = \boldsymbol{X}^e_\alpha + \boldsymbol{u}^e_\alpha\), за да се получат пространствените производни \(\partial \boldsymbol{N}^e/\partial \boldsymbol{x}\) в текущата конфигурация. Така една и съща процедура може да се споделя между формулировките Total Lagrangian и Updated Lagrangian, като се сменят единствено входните възлови координати.

Свързани теми¶

Функции на формата и апроксимация с крайни елементи — Определение на функциите на формата и възловите координати на елемента
Дискретизация на вътрешната виртуална работа — Построяване на матрицата B от пространствените производни
Числено интегриране — Използване на детерминантата на Якобиана в квадратурата на Гаус