Към съдържанието

Функции на формата и апроксимация с крайни елементи

За да се обработи изчислително слабата форма на принципа на виртуалната работа, областта на тялото се разделя на краен брой елементи, а координатите на материалните точки, преместването и тестовата функция във всеки елемент се интерполират от възлови стойности и функции на формата. Пространствените производни на функциите на формата са разгледани в Пространствени производни на функциите на формата, дискретизацията на слабата форма — в Дискретизация на вътрешната виртуална работа, а конкретните форми на функциите на формата за всеки тип елемент — в Система за номериране на елементите и библиотека с функции на формата и следващите раздели.

Разделяне на областта и сумиране на интегралите по елементи

Областта \(\Omega_0\) в референтната конфигурация и областта \(\Omega\) в текущата конфигурация се апроксимират съответно чрез обединенията на елементите \(\Omega^e_0\) и \(\Omega^e\):

\[ \Omega_0 \approx \Omega_0^h = \bigcup_e \Omega^e_0, \qquad \Omega \approx \Omega^h = \bigcup_e \Omega^e \]

(\(e\) е номерът на елемента, а границите на елементите се споделят между съседни елементи.) Така обемните и повърхнинните интеграли в принципа на виртуалната работа се разлагат на суми от интеграли върху отделните елементи:

\[ \int_{\Omega_0} (\cdot)\, dV \approx \sum_e \int_{\Omega^e_0} (\cdot)\, dV, \qquad \int_{\Gamma_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \approx \sum_e \int_{\Gamma^e_{0t}} (\cdot)\, d\Gamma \]

(Същото се прилага и за текущата конфигурация чрез замяна \(dV \to dv\), \(\Omega^e_0 \to \Omega^e\) и \(\Gamma^e_{0t} \to \Gamma^e_t\).) Оттук нататък оценяването на слабата форма се свежда до построяване на интеграли поотделно за всеки елемент.

Интерполация чрез възлови стойности и функции на формата (изопараметрични елементи)

На всеки елемент \(\Omega^e_0\) се задават \(n_e\) възела. Нека координатите в референтната конфигурация и възловите премествания на възел \(\alpha = 1, \ldots, n_e\) на елемента бъдат \(\boldsymbol{X}^e_\alpha, \boldsymbol{u}^e_\alpha\). Възловите вектори на елемента \(\boldsymbol{X}^e = (\boldsymbol{X}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{X}^{eT}_{n_e})^T\) и \(\boldsymbol{u}^e = (\boldsymbol{u}^{eT}_1, \ldots, \boldsymbol{u}^{eT}_{n_e})^T\) се формират чрез подреждане на тези стойности; за елемент \(e\) те съдържат само компонентите на възлите, изграждащи елемента, извлечени от глобалните възлови вектори \(\boldsymbol{X}^n, \boldsymbol{u}^n\) (\(n_g\) е общият брой възли).

Като параметри се използват естествените координати \(\boldsymbol{r}\), които са локални координати в елемента. Функциите на формата \(N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\) интерполират материалните координати, преместването и тестовата функция в елемента чрез едни и същи функции на формата (изопараметричен елемент и метод на Галеркин):

\[ \boldsymbol{X} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{X}^e_\alpha, \qquad \boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \boldsymbol{u}^e_\alpha, \qquad \delta\boldsymbol{u} = \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r})\, \delta\boldsymbol{u}^e_\alpha. \]

Функциите на формата са построени така, че да удовлетворяват следните две свойства, а геометрията на елемента се избира така, че преобразуването \(\boldsymbol{r}\mapsto\boldsymbol{X}\) от естествени към материални координати да е еднозначно в елемента:

\[ \sum_{\alpha=1}^{n_e} N_\alpha^e(\boldsymbol{r}) = 1, \qquad N_\beta^e(\boldsymbol{r}_\alpha) = \delta_{\alpha\beta} \]

(\(\boldsymbol{r}_\alpha\) е точката в естествените координати, съответстваща на възел \(\alpha\), а \(\delta_{\alpha\beta}\) е делтата на Кронекер.) Първото уравнение гарантира възпроизвеждането на преместване като твърдо тяло, а второто гарантира, че интерполираната стойност съвпада с възловата стойност във всеки възел. Конкретните форми на \(n_e\) и \(N_\alpha^e\) за всеки тип елемент са дадени в Система за номериране на елементите и библиотека с функции на формата и следващите раздели. За да се избегне тромава нотация, зависимостта от типа на елемента се представя чрез горния индекс \(e\) за съответния елемент.

С горните правила за интерполация подинтегралната функция на слабата форма може да се изрази изцяло чрез възловите стойности на елемента \(\boldsymbol{u}^e, \delta\boldsymbol{u}^e\) и \(N_\alpha^e\). Деформацията, от друга страна, се извежда от интерполираното преместване и зависимостта деформация–преместване, а напрежението се извежда от тази деформация и материалния конститутивен закон; тези величини не се интерполират директно от възловите стойности. Те се оценяват в интеграционните точки в елемента (Числено интегриране).

Правило за подреждане на глобалните възлови вектори

Физическите величини, присвоени на възлите, се подреждат в глобалния възлов вектор във възходящ ред по номер на възел → степен на свобода. Ако във възел \(\alpha\) компонентата на степен на свобода \(i\) се означава с \(u_{i\alpha}\), тогава съответно в три измерения (\(i=1,2,3\)) и две измерения (\(i=1,2\)):

\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21}, u_{31},\ u_{12}, u_{22}, u_{32},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g}, u_{3 n_g})^T, \]
\[ \boldsymbol{u}^n = (u_{11}, u_{21},\ u_{12}, u_{22},\ \ldots,\ u_{1 n_g}, u_{2 n_g})^T \]

Координатите \(\boldsymbol{X}^n\) и тестовата функция \(\delta\boldsymbol{u}^n\) следват същото подреждане. Оттук нататък матричните и векторните изводи се записват, като тримерният случай се използва като представителен.

Свързани теми

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status