Пълзене¶

Тази глава описва конститутивния закон за пълзене, използван от FrontISTR. За подробности относно избора и входните спецификации вижте раздела за функции 03_material.

Явление на пълзене и адитивно разлагане на деформацията¶

Зависимото от времето преместване при условие на постоянно напрежение е явление, наречено „пълзене“.

Описаното по-горе вискоеластично поведение също може да се разглежда като вид линейно пълзене. Тук са описани няколко вида нелинейно поведение при пълзене. Обичаен подход е конститутивната зависимост да се формулира чрез добавяне на това поведение към деформацията, която възниква моментално, а деформацията, натрупана при продължително действие на дадено постоянно натоварване, да се дефинира като деформация от пълзене \(\varepsilon^c\). Конститутивната зависимост, включваща пълзене, обикновено се изразява чрез скоростта на деформацията от пълзене \(\dot{\varepsilon}^c\), дефинирана като функция на напрежението и общата деформация от пълзене.

\[ \dot{\varepsilon}^c \equiv \frac{\partial \varepsilon^c}{\partial t} = \beta(\sigma, \varepsilon^c) \]

Ако деформацията, която възниква моментално, е еластичната деформация \(\varepsilon^e\), общата деформация се изразява като следната сума, включваща деформацията от пълзене.

\[ \varepsilon = \varepsilon^e + \varepsilon^c \]

където

\[ \varepsilon^e = c^{-1} : \sigma \]

(\(c\) е тензорът на еластичността).

Закон на Нортън¶

Като конкретен конститутивен закон за пълзене FrontISTR използва следния модел на Нортън. В този конститутивен закон еквивалентната скорост на деформация от пълзене \(\dot{\varepsilon}^{cr}\) се изразява като функция на напрежението по фон Мизес \(q\) и времето \(t\) по следния начин.

\[ \dot{\varepsilon}^{cr} = A q^n t^m \]

Тук \(A\), \(m\) и \(n\) са материални константи.

Интегриране по време и актуализиране на напрежението¶

Както при пластичните материали, за конститутивен закон, проявяващ пълзене, трябва да се зададе числен метод за интегриране по време. Конститутивната зависимост при отчитане на пълзенето е

\[ \sigma_{n+1} = c : (\varepsilon_{n+1} - \varepsilon_{n+1}^c) \]

\[ \varepsilon_{n+1}^c = \varepsilon_n^c + \Delta t \, \beta_{n+\theta} \]

където \(\beta_{n+\theta}\) е

\[ \beta_{n+\theta} = (1 - \theta) \beta_n + \theta \beta_{n+1} \]

След това прирастът на деформацията от пълзене \(\Delta \varepsilon^c\) се дефинира чрез следното опростено нелинейно уравнение:

\[ R_{n+1} = \varepsilon_{n+1} - c^{-1} : \sigma_{n+1} - \varepsilon_n^c - \Delta t \, \beta_{n+\theta} = \mathbf{0} \]

което се приравнява на нула.

При итерацията на Нютон-Рафсън, като се вземе \(\sigma_{n+1} = \sigma_n\) за начално напрежение и се използва прирастът на деформацията, получен по метода на крайните елементи, итеративното решение и прирастът се задават от

\[ R_{n+1}^{(k+1)} = \mathbf{0} = R_{n+1}^{(k)} - (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c) \, d\sigma_{n+1}^{(k)} \]

където

\[ c_{n+1}^c = \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+\theta} = \theta \left.\frac{\partial \beta}{\partial \sigma}\right|_{n+1} \]

с Когато итерацията продължава, докато остатъкът \(R\) стане \(\mathbf{0}\), се използват напрежението \(\sigma_{n+1}\) и тангенциалният модул

\[ c_{n+1}^* = (c^{-1} + \Delta t \, c_{n+1}^c)^{-1} \]

Свързани теми¶

Вискоеластичност — Вискоеластично поведение, съответстващо на линейно пълзене
Тангенциална матрица на коравина — Тангенциална коравина за инкрементален анализ, включващ пълзене
Материални данни (функции) — Задаване на параметрите за модела на Нортън