Еластопластичност¶

Тази глава описва рамката на еластопластичния конститутивен закон, използван от FrontISTR. За подробности относно избора и спецификациите на входните данни вижте 03_material в раздела за функциите.

Физично явление (пластична деформация)¶

TBD (ще бъде написано на следващ етап).

Рамка на конститутивния закон¶

FrontISTR използва еластопластично конститутивно уравнение, основано на асоцииран закон на течение. Конститутивното уравнение изразява зависимостта между скоростта на Jaumann на напрежението на Kirchhoff и тензора на скоростта на деформация, а анализът на деформацията използва формулировката Updated Lagrange.

Нека условието за провлачване на еластопластичен материал е зададено както следва.

Начално условие за провлачване:

\[ F(\sigma, \sigma_{y_0}) \]

Последващо условие за провлачване:

\[ F(\sigma, \sigma_y(\overline{e}^p)) \]

където

\(F\): функция на провлачване
\(\sigma_{y_0}\): начално напрежение на провлачване
\(\sigma_y\): последващо напрежение на провлачване
\(\sigma\): тензор на напреженията
\(e\): тензор на безкрайно малките деформации
\(e^p\): тензор на пластичните деформации
\(\overline{e}^p\): еквивалентна пластична деформация

Приема се, че зависимостта напрежение на провлачване–еквивалентна пластична деформация съвпада със зависимостта напрежение–пластична деформация при едноосно състояние.

Зависимост напрежение–пластична деформация при едноосно състояние

\[ \sigma = H(e^p) \]

\[ \frac{d\sigma}{de^p} = H' \]

където \(H'\) е модулът на деформационно уякчаване.

Зависимост еквивалентно напрежение–еквивалентна пластична деформация

\[ \overline{\sigma} = H(\overline{e}^p) \]

\[ \dot{\overline{\sigma}} = H' \dot{\overline{e}^p} \]

По принцип последващата функция на провлачване е функция на температурата и работата на пластичната деформация, но за опростяване тук се приема, че тя е функция само на еквивалентната пластична деформация \(\overline{e}^p\). По време на развитието на пластичната деформация трябва да продължава да е изпълнено \(F = 0\), следователно трябва да е изпълнено следното уравнение.

\[ \dot{F} = \frac{\partial F}{\partial \sigma} : \dot{\sigma} + \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p = 0 \]

Тук \(\dot{F}\) означава производната на \(F\) по времето. По-нататък производната по времето на величина \(A\) се означава с \(\dot{A}\).

Приемаме съществуването на пластичен потенциал \(\Theta\) и изразяваме скоростта на пластичната деформация със следното уравнение.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial \Theta}{\partial \sigma} \]

Тук \(\dot{\lambda}\) е коефициент.

Освен това, като приемем, че пластичният потенциал \(\Theta\) е равен на функцията на провлачване \(F\), се използва следният асоцииран закон на течение.

\[ \dot{e}^p = \dot{\lambda} \frac{\partial F}{\partial \sigma} \]

Заместването на това уравнение в условието за съвместимост дава следното уравнение.

\[ \dot{\lambda} = \frac{a^T : d_D}{A + a^T : D : a} \dot{e} \]

Тук \(D\) е матрицата на еластичност и

\[ a^T = \frac{\partial F}{\partial \sigma}, \qquad d_D = D a^T, \qquad A = -\frac{a}{\dot{\lambda}} \frac{\partial F}{\partial e^p} : \dot{e}^p \]

Еластопластичната зависимост напрежение–деформация може да се запише както следва.

\[ \dot{\sigma} = \left\{ D - \frac{d_D \otimes d_D^T}{A + d_D^T a} \right\} : \dot{e} \]

След като функцията на провлачване \(F\) на еластопластичния материал е известна, неговото конститутивно уравнение се получава от този израз.

Функции на провлачване¶

Функциите на провлачване за еластопластични материали, използвани от FrontISTR, са изброени по-долу.

Функция на провлачване на von Mises¶

\[ F = \sqrt{3 J_2} - \sigma_y = 0 \]

Тук \(J_2\) е вторият инвариант на девиаторния тензор на напреженията.

Функция на провлачване на Mohr-Coulomb¶

\[ F = \sigma_1 - \sigma_3 + (\sigma_1 + \sigma_3) \sin\phi - 2 c \cos\phi = 0 \]

Тук \(\sigma_1, \sigma_3\) са съответно максималното и минималното главно напрежение, \(c\) е кохезията, а \(\phi\) е ъгълът на вътрешно триене.

Функция на провлачване на Drucker-Prager¶

\[ F = \sqrt{J_2} - \alpha \sigma : I - \sigma_y = 0 \]

Тук материалните константи \(\alpha\) и \(\sigma_y\) се изчисляват от кохезията и ъгъла на вътрешно триене на материала както следва.

\[ \alpha = \frac{2 \sin\phi}{3 + \sin\phi}, \qquad \sigma_y = \frac{6 c \cos\phi}{3 + \sin\phi} \]

Свързани теми¶

Линейна еластичност — еластичен отклик (еластичната част на еластопластичността)
Тангенциална матрица на коравина — тангенциална коравина за инкрементален анализ, включващ материална нелинейност
Материални данни (функции) — опции и избор на функции на провлачване и закони на уякчаване