Хипереластичност¶

Тази глава разглежда хипереластичните конститутивни закони, поддържани от FrontISTR. За подробности относно избора на модел и спецификациите на входните данни вижте раздела за функциите 03_material.

Физично явление (обратим отклик при големи деформации)¶

TBD (предстои да бъде разработено в пълен текст на следващ етап).

Конститутивна рамка¶

За изотропен хипереластичен материал еластичната потенциална енергия се получава от изотропния отклик спрямо началното ненапрегнато състояние и може да се изрази като функция на главните инварианти \((I_1, I_2, I_3)\) на десния тензор на деформацията на Cauchy-Green \(C\) или на главните инварианти \((\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\) на тензора на деформацията с отделена обемна промяна, тоест като \(W = W(I_1, I_2, I_3)\) или \(W = W(\overline{I}_1, \overline{I}_2, \overline{I}_3)\).

Конститутивното уравнение за хипереластичен материал се определя чрез зависимостта между второто напрежение на Piola-Kirchhoff и деформацията на Green-Lagrange, а за анализа на деформациите се прилага методът Total Lagrange.

След като еластичната потенциална енергия \(W\) е известна, второто напрежение на Piola-Kirchhoff и зависимостта напрежение–деформация могат да се изчислят както следва.

\[ S = 2\frac{\partial W}{\partial C} \]

\[ \mathbb{C} = 4 \frac{\partial^2 W}{\partial C \partial C} \]

Еластичните потенциални енергии \(W\) за хипереластичните модели, използвани от FrontISTR, са изброени по-долу.

Хипереластичен модел Neo-Hookean¶

Хипереластичният модел Neo-Hookean разширява изотропния линеен закон (закона на Hooke), така че да може да се прилага при задачи с големи деформации. Неговият еластичен потенциал е следният.

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Тук \(C_{10}\) и \(D\) са материални константи.

Хипереластичен модел Mooney-Rivlin¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 \]

Тук \(C_{10}\), \(C_{01}\) и \(D\) са материални константи.

Анизотропен хипереластичен модел Mooney-Rivlin¶

\[ W = C_{10} (\overline{I}_1 - 3) + C_{01} (\overline{I}_2 - 3) + \frac{1}{D} (J - 1)^2 + C_{42} (\overline{I}_4 - 1)^2 + C_{43} (\overline{I}_4 - 1)^3 \]

Тук \(C_{10}\), \(C_{01}\) и \(D\) са материални константи, общи с изотропния модел, а \(C_{42}\) и \(C_{43}\) са материални константи, специфични за анизотропията.

Хипереластичен модел Arruda-Boyce¶

\[ \begin{aligned} W &= \mu \left[ \frac{1}{2}(\overline{I}_1 - 3) + \frac{1}{20\lambda_m^2}(\overline{I}_1^2 - 9) + \frac{11}{1050\lambda_m^4}(\overline{I}_1^3 - 27) \right. \\ &\quad \left. + \frac{19}{7000\lambda_m^6}(\overline{I}_1^4 - 81) + \frac{519}{673750\lambda_m^8}(\overline{I}_1^5 - 243) \right] + \frac{1}{D} \left( \frac{J^2 - 1}{2} - \ln J \right) \end{aligned} \]

\[ \mu = \frac{\mu_0}{1 + \dfrac{3}{5\lambda_m^2} + \dfrac{99}{175\lambda_m^4} + \dfrac{513}{875\lambda_m^6} + \dfrac{42039}{67375\lambda_m^8}} \]

Тук \(\mu_0\), \(\lambda_m\) и \(D\) са материални константи.

Свързани теми¶

Линейна еластичност — еластичен отклик при малки деформации
Еластопластичност — конститутивни закони, включващи необратима деформация
Материални данни (функции) — опции и избор на модел