Линейна еластичност¶

Тази глава разглежда конститутивния закон (закона на Hooke) за линейноеластични материали. За подробности относно избора на модел и входните спецификации вижте раздела за функции 03_material.

Явление (линейноеластичен отговор)¶

Линейноеластично тяло е материал, който в област, където деформацията под натоварване е достатъчно малка, има линейна зависимост между напрежение и деформация и обратим, независим от историята отговор, при който след разтоварване цялата деформация се връща в първоначалното състояние. За разлика от пластичността или пълзенето, той няма вътрешни променливи на състоянието (като пластична или вискозна деформация), а напрежението се определя еднозначно само от текущата деформация.

В областта на малките деформации се използват напрежението на Cauchy \(\boldsymbol{\sigma}\) и безкрайно малката деформация \(\boldsymbol{\varepsilon}\); в областта на крайните деформации (задачи с големи завъртания, но малка собствена деформация) се използват второто напрежение на Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) и деформацията на Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\) (материал St.Venant-Kirchhoff).

Конститутивен закон¶

Изотропен линейноеластичен материал¶

В областта на малките деформации изотропният закон на Hooke се изразява чрез константите на Lamé \(\lambda, \mu\) като

\[ \boldsymbol{\sigma} = \lambda\, \mathrm{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\, \boldsymbol{I} + 2\mu\, \boldsymbol{\varepsilon} \]

В компонентен вид,

\[ C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr) \]

а двойната контракция с деформацията дава \(\sigma_{ij} = C_{ijkl}\,\varepsilon_{kl}\). Константите на Lamé са свързани с модула на Young \(E\) и коефициента на Poisson \(\nu\) по следния начин:

\[ \lambda = \frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}, \qquad \mu = \frac{E}{2(1+\nu)}. \]

В нотация на Voigt връзката между вектора на деформациите \(\hat{\varepsilon}\) и вектора на напреженията \(\hat{\sigma}\) се записва като \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\), а тримерната материална матрица \(D\) е

\[ D = \begin{bmatrix} \lambda + 2\mu & \lambda & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda + 2\mu & \lambda & 0 & 0 & 0 \\ \lambda & \lambda & \lambda + 2\mu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \mu \end{bmatrix} \]

Това матрично представяне се използва в реализацията.

Ортотропен линейноеластичен материал¶

За материали, чиито еластични константи се различават по направленията на главните оси, се използва ортотропен модел с девет независими константи: модулите на Young по направленията на главните оси \(E_1, E_2, E_3\), коефициентите на Poisson между главните оси \(\nu_{12}, \nu_{23}, \nu_{31}\) и модулите на срязване \(G_{12}, G_{23}, G_{31}\). За явния вид на матрицата \(D\) вижте стандартната литература.

Област на крайните деформации: материал St.Venant-Kirchhoff¶

За задачи с големи завъртания, но малка собствена деформация, материалът St.Venant-Kirchhoff се използва като линейноеластичен закон, свързващ второто напрежение на Piola-Kirchhoff \(\boldsymbol{S}\) и деформацията на Green-Lagrange \(\boldsymbol{E}\):

\[ \boldsymbol{S} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{E}, \qquad C_{ijkl} = \lambda\, \delta_{ij}\delta_{kl} + \mu\, \bigl( \delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il}\delta_{jk} \bigr). \]

Определенията на константите на Lamé \(\lambda, \mu\) са същите като при малки деформации. Тъй като обаче определенията на двойката напрежение-деформация са различни, това е различен конститутивен закон от закона на Hooke за малки деформации.

Хипоеластичен материал¶

При метода Updated Lagrange се използва хипоеластичен материал, който приема линейноеластичен закон между производната на Jaumann на относителния тензор на напреженията на Kirchhoff \(\hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J}\) и тензора на скоростта на деформация \(\boldsymbol{D}\):

\[ \hat{\boldsymbol{\sigma}}^{\nabla J} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{D} \]

И тук определението на \(\boldsymbol{C}\) чрез константите на Lamé е същото като по-горе, но поради различната двойка напрежение-деформация това е различен конститутивен закон. За подробности как \(\boldsymbol{\sigma}_{t_{n+1}}\) се актуализира чрез процедурата за интегриране по времето (интегриране напред по Euler и апроксимация с централни разлики), вижте tmptexdocs/11b_continuum_mechanics.tex.

Редукция за двумерен анализ и обвивкови елементи¶

Равнинно напрегнато състояние (\(\sigma_{33} = 0\))¶

За равнинно напрегнато състояние, представящо натоварването на тънки плочи и обвивки, се приема \(\sigma_{33} = \sigma_{13} = \sigma_{23} = 0\) и се използва \(\varepsilon_{33}\), в която извънравнинната компонента на деформацията \(D\) е елиминирана алгебрично:

\[ D = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Равнинно деформирано състояние (\(\varepsilon_{33} = 0\))¶

За равнинно деформирано състояние, представящо напречното сечение на дълга конструкция, ограничена по посока на дебелината, се приема \(\varepsilon_{33} = \varepsilon_{13} = \varepsilon_{23} = 0\):

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix}. \]

Осесиметричен случай¶

При осесиметричен анализ, който разглежда задачи, еднородни в посока \((r, \theta, z)\) в цилиндрични координати \(\theta\), се запазват четирите компоненти \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_{rr}, \sigma_{\theta\theta}, \sigma_{zz}, \sigma_{rz})^T\) и \(\boldsymbol{\varepsilon} = (\varepsilon_{rr}, \varepsilon_{\theta\theta}, \varepsilon_{zz}, 2\varepsilon_{rz})^T\), и се получава

\[ D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)} \begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{1-2\nu}{2} \end{bmatrix} \]

Получаваме.

Обвивкови елементи (равнинно напрегнато състояние + напречно срязване)¶

При обвивковите елементи напреженията в равнината се третират като равнинно напрегнато състояние, а към компонентите на напречната срязваща деформация \((2\varepsilon_{13}, 2\varepsilon_{23})\) се прилага коефициентът на корекция при срязване \(\kappa\) (обикновено \(\kappa = 5/6\)) и се използва \(\kappa\, G\). За подробната формулировка на всеки елемент вижте Разширени формулировки на елементи. Указанието в раздела за функции 03_material, че „обвивковите елементи поддържат само линейна еластичност“, се основава на това опростяване, при което състоянието в равнината се третира като равнинно напрегнато.

Температурна зависимост¶

Модулът на Young \(E\), коефициентът на Poisson \(\nu\) и коефициентът на линейно топлинно разширение \(\alpha\) обикновено се задават като функции на температурата \(T\). В FrontISTR се въвеждат стойности за краен ред от температурни точки \(T_1 < T_2 < \cdots < T_n\), а стойността при температура \(T\) по време на изчислението се определя чрез линейна интерполация между съседните точки. За температури извън диапазона (\(T < T_1\) или \(T > T_n\)) за екстраполация се използва стойността в най-близкия краен пункт, \(T_1\) или \(T_n\) (постоянна екстраполация).

За температурната зависимост на топлинните и топлопроводните свойства (плътност, специфична топлина и топлопроводност) вижте Топлинни свойства. Правилата за интерполация са общи за тези свойства.

Свързани теми¶

Тензорна нотация и математически основи — Конвенции за нотацията на Voigt и ролята на материалната матрица \(D\)
Движение, деформация и деформации — Общо разглеждане на градиента на деформация и тензора на деформация
Хипереластичност — Разширение към обратим отговор, включително при големи деформации
Еластопластичност — Хипоеластични и пластични модели, включително пластична деформация
Топлинни свойства — Свойства, използвани при топлопроводност и термомеханично свързване
Данни за материала (функции) — Опции на модела и избор