Към съдържанието

Линеен еластичен статичен анализ (въведение)

В този раздел е представена формулировката на еластичния статичен анализ, основана на теорията на безкрайно малките деформации. За зависимостта напрежение–деформация се приема линейна еластичност. Главата е предназначена като въведение за разбиране на общата структура на структурния анализ по метода на крайните елементи и е организирана като самостоятелна глава.

За общата теория на принципа на виртуалната работа (форма в текущата конфигурация, форма в началната конфигурация и свеждане до безкрайно малки деформации) вижте Принцип на виртуалната работа; за подробности относно линейно еластичния конститутивен закон вижте Линейна еластичност; за правилата на тензорната нотация и нотацията на Voigt вижте Тензорна нотация и математически основи; за общата формулировка при крайни деформации вижте Движение, деформация и деформации; а за методите за решаване на нелинейни задачи вижте Тангенциална матрица на коравина.

Основни уравнения

При предположенията за безкрайно малки деформации и линейна еластичност граничната задача в механиката на твърдото тяло се състои от уравнението на равновесие, механичните гранични условия и геометричните гранични условия (съществени гранични условия) (виж фиг. 2.1.1):

\[\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} + \overline{\boldsymbol{b}} = \boldsymbol{0} \quad \text{в} \ V \label{eq:2.1.1} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{n} = \overline{\boldsymbol{t}} \quad \text{върху} \ S_t \label{eq:2.1.2} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \overline{\boldsymbol{u}} \quad \text{върху} \ S_u \label{eq:2.1.3} \end{equation}\]

Тук \(\boldsymbol{\sigma}\) е напрежението на Cauchy, \(\overline{\boldsymbol{b}}\) е обемната сила на единица обем, \(\overline{\boldsymbol{t}}\) е зададеното повърхностно усилие, \(\overline{\boldsymbol{u}}\) е зададеното преместване, а \(S_t, S_u\) са съответно механичната и геометричната граница.

Гранична задача в механиката на твърдото тяло (задача с безкрайно малки деформации)

Фигура 2.1.1 Гранична задача в механиката на твърдото тяло (задача с безкрайно малки деформации)

С помощта на симетричния градиентен оператор зависимостта деформация–преместване е

\[\begin{equation} \boldsymbol{\varepsilon} = \nabla_S \boldsymbol{u} \label{eq:2.1.4} \end{equation}\]

Линейно еластичното конститутивно уравнение е

\[\begin{equation} \boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C} : \boldsymbol{\varepsilon} \label{eq:2.1.5} \end{equation}\]

където \(\boldsymbol{C}\) е тензорът на еластичност от четвърти ред.

Принцип на виртуалната работа

Общите форми на принципа на виртуалната работа (форма в текущата конфигурация, форма в началната конфигурация и свеждане до безкрайно малки деформации) са обобщени в Принцип на виртуалната работа. При предположенията за безкрайно малки деформации и линейна еластичност слабата форма е

\[\begin{equation} \int_V \boldsymbol{\sigma} : \delta \boldsymbol{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \overline{\boldsymbol{t}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dS + \int_V \overline{\boldsymbol{b}} \cdot \delta \boldsymbol{u}\, dV \label{eq:2.1.6} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0} \quad \text{върху} \ S_u \label{eq:2.1.7} \end{equation}\]

Като заместим конститутивното уравнение \eqref{eq:2.1.5} и запишем \(\hat{\sigma} = D\, \hat{\varepsilon}\) в нотация на Voigt, получаваме формата, използвана непосредствено за дискретизация:

\[\begin{equation} \int_V \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \int_{S_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_V \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.10} \end{equation}\]

където \(D\) е еластичната матрица, дефинирана в Линейна еластичност. Уравнения \eqref{eq:2.1.10} и \eqref{eq:2.1.7} съставляват принципа на виртуалната работа, който се дискретизира по-долу.

Дискретизация и асемблиране на глобалното уравнение

Дискретизирането на принципа на виртуалната работа в уравнение \( \eqref{eq:2.1.10} \) по крайните елементи дава

\[\begin{equation} \sum_e \int_{V^e} \delta \hat{\varepsilon}^T\, D\, \hat{\varepsilon}\, dV = \sum_e \int_{S^e_t} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \int_{V^e} \delta \boldsymbol{u}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.11} \end{equation}\]

За всеки елемент полето на преместванията се интерполира чрез преместванията на възлите, съставящи елемента, както следва.

\[\begin{equation} \boldsymbol{u} = \sum^m_{i=1} N_i\, \boldsymbol{u}_i = \boldsymbol{N}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.12} \end{equation}\]

Тогава деформацията се задава чрез уравнение \(\eqref{eq:2.1.4}\) както следва.

\[\begin{equation} \hat{\varepsilon} = \boldsymbol{B}\, \boldsymbol{U} \label{eq:2.1.13} \end{equation}\]

Като заместим уравнения \(\eqref{eq:2.1.12}\) и \(\eqref{eq:2.1.13}\) в уравнение \(\eqref{eq:2.1.11}\), получаваме

\[\begin{equation} \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \left( \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T D\, \boldsymbol{B}\, dV \right) \boldsymbol{U} = \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \sum_e \delta \boldsymbol{U}^T \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \label{eq:2.1.14} \end{equation}\]

Уравнение \(\eqref{eq:2.1.14}\) може да се запише като

\[\begin{equation} \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \delta \boldsymbol{U}^T\, \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.15} \end{equation}\]

Тук компонентите на матрицата и вектора, дефинирани с уравнения \(\eqref{eq:2.1.16}\) и \(\eqref{eq:2.1.17}\), могат да се изчислят за всеки краен елемент и да се асемблират чрез суперпозиция.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K} = \sum_e \int_{V^e} \boldsymbol{B}^T\, D\, \boldsymbol{B}\, dV \label{eq:2.1.16} \end{equation}\]
\[\begin{equation} \boldsymbol{F} = \sum_e \left( \int_{S_t^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{t}}\, dS + \int_{V^e} \boldsymbol{N}^T\, \overline{\boldsymbol{b}}\, dV \right) \label{eq:2.1.17} \end{equation}\]

Тъй като уравнение \(\eqref{eq:2.1.15}\) е валидно за произволно виртуално преместване \(\delta \boldsymbol{U}\), се получава следното уравнение.

\[\begin{equation} \boldsymbol{K}\, \boldsymbol{U} = \boldsymbol{F} \label{eq:2.1.18} \end{equation}\]

От друга страна, граничното условие за преместването в уравнение \(\eqref{eq:2.1.3}\) се изразява както следва.

\[\begin{equation} \boldsymbol{U} = \overline{\boldsymbol{U}} \label{eq:2.1.19} \end{equation}\]

Чрез решаване на уравнение \(\eqref{eq:2.1.18}\) при ограничителното условие в уравнение \(\eqref{eq:2.1.19}\) може да се определи възловото преместване \(\boldsymbol{U}\).

Вижте също

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status