Нелинейни итерации и времева интеграция¶

FrontISTR придвижва решението чрез комбиниране на нелинейни итерации и времева интеграция във всяка подстъпка в рамките на управлението на инкрементите за всяка стъпка. Тази страница описва итерационните структури между външното управление на стъпките и вътрешния линеен решател: итерации на Newton-Raphson, контактни итерации, времева интеграция за динамичен анализ и рамката за придвижване във времето и нелинейни итерации при нестационарна топлопроводност.

Общ преглед¶

Нелинейното решение и времевата интеграция в рамките на една стъпка имат вложена структура от няколко цикъла, подредени отвън навътре. Всеки слой има следната роля.

Кои от тези слоеве се появяват зависи от типа на анализа.

За избора на самия тип контакт и алгоритъм вижте Контакт и вграждане. Тази страница описва как избраният алгоритъм е организиран като итерационен цикъл.

Избор на схема за решение¶

Итерационната структура се определя автоматично от избрания тип анализ (Типове анализ), наличието или отсъствието на нелинейност (геометрична нелинейност, материална нелинейност или контакт) и контактния алгоритъм (SLAGRANGE или ALAGRANGE). Потребителят настройва директно горните граници за броя итерации и критериите за сходимост.

При настройване на тези параметри се прилагат следните насоки.

• За стандартни анализи горната граница по подразбиране за броя итерации обикновено е достатъчна. Ако трудна за сближаване задача достигне максималния брой итерации без сходимост, първо използвайте cutback (Управление на стъпките); увеличавайте горната граница само ако това не подобрява сходимостта.
• Настройвайте критериите за сходимост така, че да се балансират стабилността на анализа и времето за изчисление. По-строгите критерии подобряват точността на равновесието, но увеличават броя итерации. При контактни анализи и анализи с множители на Lagrange комбинирането на критерий по инкремента на преместването или критерий на Lagrange с критерия по остатъка може да подобри стабилността.
• За параметрите на времевата интеграция при динамичен анализ (коефициентите на Newmark-β) започнете със стандартна комбинация от стойности и ги настройвайте при промяна на характеристиките на численото затихване на вибрационния отклик.
• За схемата на времева интеграция при нестационарна топлопроводност използвайте Crank-Nicolson при задачи с плавни температурни изменения, а Backward Euler, когато резките изменения или дългосрочната стабилност са по-важни.

Итерация на Newton-Raphson при статичен анализ¶

При нелинеен статичен анализ уравненията на равновесие, съдържащи геометрична или материална нелинейност, се решават итерационно чрез метода на Newton-Raphson. Всяка итерация протича по следния начин.

1. Изчислява се остатъчният вектор \(\boldsymbol{R}\) за текущото решение.
2. Асемблира се допирателната матрица на коравина \(\boldsymbol{K}_T\).
3. Решава се линейната система \(\boldsymbol{K}_T \Delta \boldsymbol{u} = -\boldsymbol{R}\), за да се получи корекцията на преместването \(\Delta \boldsymbol{u}\).
4. Решението се актуализира като \(\boldsymbol{u} \leftarrow \boldsymbol{u} + \Delta \boldsymbol{u}\).
5. Сравнява се с критериите за сходимост. Ако е постигната сходимост, итерацията завършва; в противен случай се връща към стъпка 1.

Линейният решател извършва решаването на линейната система (стъпка 3). За избора на решател и предобуславящ оператор вижте Решател и предобуславяне.

Итерациите се управляват чрез параметрите за управление на стъпката на !STEP. Основните управляващи стойности са следните.

Максималният брой итерации на Newton, използван при решенията за автоматично увеличаване на инкремента и cutback в Управление на стъпките, означава броя на итерациите на Newton, описани на тази страница. Управлението на автоматичния инкремент увеличава времевия инкремент след подстъпка, която е достигнала сходимост с малко итерации, и го намалява след подстъпка, изисквала много итерации.

Контактна итерация при статичен анализ¶

При контактен анализ контактното състояние се променя по време на итерациите поради контакт, разделяне и плъзгане по контактните повърхнини, затова итерацията на Newton се комбинира с актуализиране на контактното състояние. Структурата зависи от алгоритъма за решение на контакта.

И двата алгоритъма поставят цикъл за търсене на контактно състояние на най-външното ниво. При всяко преминаване през този цикъл контактното състояние (контакт/разделяне) се оценява отново след достигане на сходимост на вътрешната итерация на Newton. Ако състоянието се е променило, структурата на матрицата на коравина се актуализира и вътрешната итерация се изпълнява отново. Цикълът завършва, когато контактното състояние не се различава от това при предходното преминаване и са изпълнени критериите за контактна сходимост (критерии за контактна сила и множител на Lagrange). Горната граница за броя преминавания се задава чрез MAXCONTITER на !STEP.

При контакт SLAGRANGE контактните степени на свобода се включват в линейната система чрез стандартния метод с множители на Lagrange, което дава двуслойна структура, в която итерацията на Newton е разположена непосредствено вътре в цикъла за търсене на контактно състояние. Няма итерация на разширения Lagrange.

При контакт ALAGRANGE вътре в цикъла за търсене на контактно състояние се добавя итерация на разширения Lagrange, а итерацията на Newton се изпълнява вътре в нея, което дава трислойна структура. При всяка итерация на разширения Lagrange контактното ограничение се преоценява чрез комбинация от наказателния член и множителя на Lagrange, като точността на ограничението постепенно се подобрява. Горната граница на броя итерации на разширения Lagrange се задава чрез AUGITER на !CONTACT_ALGO.

Управляващите стойности за контактната итерация са следните.

Броят на контактните итерации, използван при решенията за автоматично увеличаване на инкремента в Управление на стъпките, означава броя итерации, описани на тази страница, включително актуализациите на контактното състояние. Анализи, при които контакт и разделяне възникват често, имат тенденция да изискват повече контактни итерации, което влияе и върху решенията за автоматично увеличаване на инкремента и cutback. За типовете контакт, дефинициите на двойки и избора на алгоритъм вижте Контакт и вграждане. За начина на решаване на линейната система, съдържаща контактни степени на свобода, вижте Решател и предобуславяне.

Времева интеграция при динамичен анализ (неявен метод)¶

Неявният метод за динамичен анализ използва метода Newmark-β, за да свърже преместването, скоростта и ускорението в следващия момент за всяка времева стъпка, и комбинира тези зависимости с уравнението на движение, за да получи състоянието в момент \(t + \Delta t\). Ограничението за стабилност върху времевата стъпка \(\Delta t\) е слабо, което позволява ефективно решаване на структурни отклици, доминирани от нискочестотни компоненти.

Използват се следните два параметъра за времева интеграция.

Комбинацията \(\beta = 1/4\) и \(\gamma = 1/2\) се нарича метод на средното ускорение и е стандартен избор, който е безусловно стабилен и няма числено затихване. За въвеждане на числено затихване изберете \(\gamma\) по-голямо от \(1/2\). За математически подробности относно комбинациите на параметрите, стабилността и характеристиките на грешката вижте теоретичното ръководство.

Когато е включена нелинейност (геометрична нелинейност, материална нелинейност или контакт), във всяка времева стъпка се изпълнява итерация на Newton; в рамките на итерацията се решава линейната система и се актуализира състоянието. Критериите за сходимост използват CONVERG и свързаните стойности, общи със статичния анализ. При динамичен анализ с контакт във всяка времева стъпка се включва същата итерационна структура като в Контактна итерация при статичен анализ.

Времевата стъпка при динамичен анализ се управлява основно чрез времевите условия на !STEP. При фиксирани инкременти !STEP задава DTIME като времева стъпка и ETIME като продължителност на стъпката. Стойностите n_step и t_delta на !DYNAMIC се разглеждат като стойности по подразбиране, когато !STEP е пропуснат, и за обратна съвместимост. При нелинейния неявен метод !STEP с INC_TYPE=AUTO разрешава автоматични инкременти и cutback, като увеличава или намалява времевата стъпка според състоянието на итерациите на Newton и контактните итерации. Независимо дали се използват фиксирани или автоматични инкременти, задавайте времевата стъпка с оглед едновременно на сходимостта и необходимата точност.

Времева интеграция при динамичен анализ (явен метод)¶

Явният метод за динамичен анализ използва метода на централните разлики, за да изчисли директно състоянието в следващия момент само от информацията за преместването, скоростта и ускорението в предходния момент. Тъй като не се решават системи едновременни уравнения, изчислителната цена на стъпка е ниска. Дори при наличие на нелинейност всяка времева стъпка е едноетапна актуализация без итерация на Newton.

Времевата стъпка има горна граница, наложена от условие за стабилност, базирано на минималния собствен период на системата (условието CFL). Времева стъпка над тази граница води до разходимост на численото решение, затова не могат да се използват големи времеви стъпки като при неявния метод. Явният метод е подходящ за явления като удар, разпространение на вълни и високоскоростен контакт, при които по природа са необходими малки времеви стъпки.

Когато е включен контакт, контактните ограничения се налагат чрез метода Forward Increment Lagrange. Контактните сили се оценяват по начин, съвместим с едноетапната актуализация на явния метод.

Метод за решение при анализ на честотния отклик¶

Анализът на честотния отклик получава директно периодичния стационарен отклик в честотната област чрез метода на модалната суперпозиция. Той оценява отклика при промяна на честотата на възбуждане и не е необходимо да проследява времева история чрез итерации. Не се изпълняват нито нелинейни итерации, нито времева интеграция.

Преди анализ на честотния отклик трябва да се извърши модален анализ за същата система и да се извлекат необходимият брой собствени моди. Поддържат се само линейни модели; анализът не може да бъде изпълнен, когато е разрешена геометрична или материална нелинейност. За мястото на този тип анализ вижте Типове анализ.

Придвижване във времето и нелинейни итерации при нестационарна топлопроводност¶

Нестационарната топлопроводност има собствен времеви цикъл, който се изпълнява изцяло в рамките на !HEAT. Времевата стъпка се управлява по път, отделен от структурните !STEP и !AUTOINC_PARAM, а когато свойствата на материала зависят от температурата, във всяка времева стъпка се изпълнява нелинейна итерация.

Схемата за времева интеграция се избира чрез параметъра \(\beta\) на !HEAT.

Времевата стъпка се управлява адаптивно чрез комбинация от началната времева стъпка, минималната времева стъпка и максималната температурна промяна за стъпка. Ако след изчисление на дадена времева стъпка температурната промяна превиши DELTMX, времевата стъпка се намалява и стъпката се изчислява отново. Анализът се прекратява, ако времевата стъпка падне под минималната времева стъпка DTMIN.

Когато свойствата на материала зависят от температурата, във всяка времева стъпка се изпълнява нелинейна итерация. Итерацията се управлява както следва.

Стационарната топлопроводност не използва времеви стъпки; нелинейна итерация се изпълнява само когато свойствата на материала зависят от температурата. Тъй като управлението на времето при анализа на топлопроводност е независимо от структурния !STEP, при настройване на времевата стъпка проверете настройките на !HEAT.

Свързани теми¶

• Типове анализ — Място на всеки тип анализ.
• Контакт и вграждане — Избор на типове контакт, дефиниции на двойки и алгоритми за решение.
• Решател и предобуславяне — Решаване на линейните системи едновременни уравнения, извиквани в рамките на итерацията на Newton.
• Управление на стъпките — Външно управление на стъпки/подстъпки и автоматични инкременти/cutback.
• Метод на Newton-Raphson (теория) — Формулировка на итерационния метод за решение.
• Критерии за сходимост (теория) — Математически дефиниции на показателите за сходимост.
• Методи за динамичен анализ (теория) — Формулировка на методите Newmark-β и централни разлики.
• Анализ на нестационарна топлопроводност (теория) — Формулировка на времевата интеграция за топлопроводност.
• Контактен анализ (теория) — Формулировка на метода с множители на Lagrange.
• Справочник на ключовите думи: !STEP, !CONTACT_ALGO, !DYNAMIC, !HEAT.