Həndəsi sərhəd şərtlərinin emalı¶

Newton-Raphson üsulu hər iterasiyada \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) xətti tənliyini həll edir, lakin həndəsi sərhəd şərtləri (yerdəyişmə məhdudiyyətləri) bu tənliyə hələ daxil edilməyib. Bu fəsildə yerdəyişmə məhdudiyyətləri \(\boldsymbol{u} = \bar{\boldsymbol{u}}\) tətbiq olunan sərbəstlik dərəcələri üçün sərtlik matrisi \(\boldsymbol{K}\) və qalıq vektoru \(\boldsymbol{R}\) elə dəyişdirilir ki, iterasiyadan sonrakı yerdəyişmə təyin edilmiş qiymətə çatsın. Çoxnöqtəli məhdudiyyətlər (MPC) və kontaktla bağlı qeyri-xətti məhdudiyyətlər ayrıca emal olunur; Çoxnöqtəli məhdudiyyətlər və Kontakt bölmələrinə baxın.

Yerdəyişmə məhdudiyyətlərini naməlum dəyişən kimi saxlama prinsipi¶

Həndəsi sərhəd şərti tətbiq edilmiş düyünün yerdəyişməsi artıq naməlum dəyişən deyil, təyin edilmiş \(\bar{u}_i\) qiymətinə sabitlənir. Bu sərbəstlik dərəcələrini sabit kimi qəbul edib \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) xətti tənliyindən çıxarmaq olardı; lakin FrontISTR məhdudlaşdırılmış sərbəstlik dərəcələrini digər sərbəstlik dərəcələri kimi düzəliş vektorunda \(d\boldsymbol{u}\) saxlayaraq \(\boldsymbol{K}\) və \(\boldsymbol{R}\)-i dəyişdirməklə məhdudiyyətləri təmin edir.

Bu yanaşmada məhdudiyyətlərin olub-olmamasından asılı olaraq əmsallar matrisinin ölçüləri və sərbəstlik dərəcələrinin düzülüşü dəyişmir; buna görə dəyişənləri çıxarıb boşalmış sətir və sütunları yenidən yığmağa ehtiyac yoxdur. Əmsallar matrisinin seyrək matris formasında saxlandığı reallaşdırmada belə yenidən yığma mürəkkəb olduğundan FrontISTR məhdudiyyətlərin yalnız əmsallar matrisini və sağ tərəfi yeniləməklə təmin edildiyi ikinci yanaşmanı qəbul edir.

Newton-Raphson düzəlişlərinin hədəf qiyməti¶

Yerdəyişməsi məhdudlaşdırılmış \(i\) sərbəstlik dərəcəsi üçün Newton-Raphson iterasiyasında alınan \(du_i\) düzəlişi belə olsun:

\[ du_i = d\bar{u}_i \equiv \begin{cases} \bar{u}_i & (\text{1-ci iterasiya}) \\ 0 & (\text{2-ci və sonrakı iterasiyalar}) \end{cases} \]

Düzəlişin bu qiyməti alması üçün \(\boldsymbol{K}\) və \(\boldsymbol{R}\) dəyişdirilir. Beləliklə, birinci iterasiyada yerdəyişmə artımı təyin edilmiş \(\bar{u}_i\) qiymətinə çatır; ikinci iterasiyadan etibarən düzəliş \(0\) olur və təyin edilmiş qiymət saxlanılır.

Matrisin və qalıq vektorunun dəyişdirilməsi proseduru¶

Əvvəlki bölmədə təsvir olunan hədəf qiymət \(\boldsymbol{K} d\boldsymbol{u} = \boldsymbol{R}\) xətti tənliyinin formasını saxlayaraq aşağıdakı iki dəyişikliklə əldə edilir.

\(i\) sətrinin diaqonallaşdırılması: \(du_i\)-nin əmsalı olan diaqonal \(K_{ii}\) həddi \(1\) ilə, digər bütün \(K_{ij}\ (j \not= i)\) əmsalları \(0\) ilə əvəz edilir və sağ tərəf \(R_i \to d\bar{u}_i\) qoyulur. Beləliklə, \(i\) sətrindəki tənlik \(du_i = d\bar{u}_i\) olur.
\(j(\not= i)\) sətirlərindən köçürmə: Hər \(j(\not= i)\) sətri üçün \(K_{ji} \not= 0\) olduqda \(K_{ji} du_i = K_{ji} d\bar{u}_i\) həddi sağ tərəfə keçirilir. Yəni sağ tərəfdən \(K_{ji} d\bar{u}_i\) çıxılır və \(du_i\)-nin \(K_{ji}\) əmsalı \(0\) edilir.

Komponent formasında dəyişiklikdən əvvəlki və sonrakı tənliklər aşağıdakı kimidir.

\[ \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & K_{1i} & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & K_{2i} & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ K_{i1} & K_{i2} & \cdots & K_{ii} & \cdots & K_{iN} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & K_{Ni} & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 \\ R_2 \\ \vdots \\ R_i \\ \vdots \\ R_N \end{bmatrix} \]

\[ \Longrightarrow \quad \begin{bmatrix} K_{11} & K_{12} & \cdots & 0 & \cdots & K_{1N} \\ K_{21} & K_{22} & \cdots & 0 & \cdots & K_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & \vdots \\ K_{N1} & K_{N2} & \cdots & 0 & \cdots & K_{NN} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} du_1 \\ du_2 \\ \vdots \\ du_i \\ \vdots \\ du_N \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R_1 - K_{1i} d\bar{u}_i \\ R_2 - K_{2i} d\bar{u}_i \\ \vdots \\ d\bar{u}_i \\ \vdots \\ R_N - K_{Ni} d\bar{u}_i \\ \end{bmatrix} \]

Dəyişdirilmiş əmsallar matrisi və sağ tərəf müvafiq olaraq \(\tilde{\boldsymbol{K}}, \tilde{\boldsymbol{R}}\) ilə işarələnsin. Nəticədə həll ediləcək xətti tənlik

\[ \tilde{\boldsymbol{K}}\, d\boldsymbol{u} = \tilde{\boldsymbol{R}} \]

Bir neçə məhdudlaşdırılmış sərbəstlik dərəcəsi olduqda yuxarıdakı 1 və 2 dəyişiklikləri hər məhdudlaşdırılmış \(i\) sərbəstlik dərəcəsinə ardıcıl tətbiq edilir.

Seyrək matris reallaşdırmasında emal sahəsi¶

Reallaşdırmada əmsallar matrisi \(\boldsymbol{K}\) seyrək matris formasında saxlanılır. Buna görə əvvəlki bölmənin 2-ci prosedurunda \(j(\not= i)\) sətirlərinin emalı yalnız \(i\) sütununda sıfırdan fərqli element olan sətirlər, yəni elementlər vasitəsilə məhdudlaşdırılmış \(i\) sərbəstlik dərəcəsinə qoşulan düyünlərin sərbəstlik dərəcələri üçün aparılır. Qoşulmayan sərbəstlik dərəcələrində \(K_{ji} = 0\) olduğundan həddin köçürülməsi sağ tərəfi dəyişmir. Bu məhdudiyyət bütün düyünlərin sayına nəzərən yalnız lokal əməliyyatlarla məhdudiyyət emalını tamamlamağa imkan verir.

Əlaqəli mövzular¶

Xarici qüvvələrin virtual işi və qlobal tənliyin yığılması — Dəyişiklikdən əvvəl \(\boldsymbol{K}, \boldsymbol{R}\)-in qurulması
Newton-Raphson üsulu — \(d\boldsymbol{u}\) düzəlişinin alınması iterasiyası ilə əlaqə
Yığılma meyarları — Məhdudiyyət emalından sonra qalıq \(\tilde{\boldsymbol{R}}\) normasının qiymətləndirilməsi