Məzmuna keç

Qeyri-stasionar istilikkeçirmə analizi

Sonlu elementlər üsulu (Finite Element Method) ilə bərk cismin istilikkeçirmə analizində zaman üzrə diskretləşdirmə və iterativ həll üsulu göstərilir. Kontinuum üçün idarəedici tənlik və sərhəd şərtləri barədə İstilikkeçirmə tənliyi bölməsinə baxın.

Diskretləşdirilmiş tənlik (başlanğıc nöqtəsi)

İstilikkeçirmə tənliyini (istilikkeçirmə tənliyinin (gov_he_main) ifadəsi) Galerkin üsulu ilə diskretləşdirdikdə,

\[\begin{equation} K T + M \frac{\partial T}{\partial t} = F \label{eq:2.4.8} \end{equation}\]

burada,

\[\begin{equation} K = \int\left( k_x \frac{\partial N^T}{\partial x}\frac{\partial N}{\partial x} + k_y \frac{\partial N^T}{\partial y}\frac{\partial N}{\partial y} + k_z \frac{\partial N^T}{\partial z}\frac{\partial N}{\partial z} \right) dV + \int hc N^T N ds + \int hr N^T N ds \label{eq:2.4.9} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M = \int \rho c N^T N dV \label{eq:2.4.10} \end{equation}\]
\[\begin{equation} F = \int Q N^T dV - \int q_s N^T dS + \int{hc} T c N^T dS + \int{hcTr} ({T+Tr}) ({T^2 + T r^2}) N^T dS \label{eq:2.4.11} \end{equation}\]
\[\begin{equation} N = (N^1, N^2, \ldots, Ni) \label{eq:2.4.12} \end{equation}\]

Burada \(K\), \(M\), \(F\), \(N\) müvafiq olaraq istilikkeçirmə matrisi (sərhəd töhfələrinin konveksiya və şüalanma hədləri daxil olmaqla), kütlə matrisi, istilik yükü vektoru və forma funksiyaları matrisidir. Material xassələrinin işarələrinin (\(\rho\), \(c\), \(k_x, k_y, k_z\), \(Q\), \(hc\), \(hr\) və s.) tərifləri İstilikkeçirmə tənliyi bölməsindəki kimidir.

Zaman üzrə diskretləşdirmə və iterativ həll

\(\eqref{eq:2.4.8}\) tənliyi qeyri-xətti və qeyri-stasionar tənlikdir. İndi zamanı geri Eyler üsulu ilə diskretləşdirib, \(t=t_0\) anındakı temperatur məlum olduqda \(t=t_0+\Delta t\) anındakı temperaturu aşağıdakı tənliklə hesablayaq.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} + M_{t=t_0+\Delta t} \frac{T_{t=t_0+\Delta t} - T_{t=t_0}}{\Delta t} = F_{t=t_0+\Delta t} \label{eq:2.4.13} \end{equation}\]

Burada \(\eqref{eq:2.4.13}\) tənliyini təqribən ödəyən temperatur vektoru \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\) təkmilləşdirilərək daha dəqiq həll \(T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)+1}\) tapılır.

Bunun üçün əvvəlcə temperatur vektorunu aşağıdakı kimi ifadə edirik.

\[\begin{equation} T_{t=t_0+\Delta t}= T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.14} \end{equation}\]

İstilikkeçirmə matrisinin temperatur vektoru ilə hasilini, kütlə matrisini və s. aşağıdakı tənliklərdəki kimi təqribən ifadə edirik.

\[\begin{equation} K_{t=t_0+\Delta t} T_{t=t_0+\Delta t} = K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big) } {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.15} \end{equation}\]
\[\begin{equation} M_{t=t_0+\Delta t} = M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} + \frac{\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.16} \end{equation}\]

\(\eqref{eq:2.4.14}\), \(\eqref{eq:2.4.15}\) və \(\eqref{eq:2.4.16}\) tənliklərini \(\eqref{eq:2.4.13}\) tənliyinə yerinə qoyub ikinci və daha yüksək tərtibli hədləri atdıqda aşağıdakı tənlik alınır.

\[\begin{equation} \bigg(\frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac {\partial M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } { \partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} } \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} + \frac{\partial \big(K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}\big)} {\partial T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}} \bigg) \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \\\ = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.17} \end{equation}\]

Daha sonra sol tərəfdəki əmsallar matrisi aşağıdakı tənlikdən istifadə etməklə təqribən qiymətləndirilir.

\[\begin{equation} K^{(i)} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + \frac{\partial \big( K_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \big)}{\partial T^{(i)}_{t=t_0+\Delta t}} = \frac{M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)}}{\Delta t} + K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)} \label{eq:2.4.18} \end{equation}\]

Burada \(K_{T_{t=t_0+\Delta t}}^{(i)}\) toxunan sərtlik matrisidir.

Nəticədə aşağıdakı tənliklə iterativ hesablama aparmaqla \(t=t_0+\Delta t\) anındakı temperaturu hesablamaq olar.

\[\begin{equation} K^{(i)} \Delta T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} = F_{t=t_0+\Delta t} - M_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \frac{T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} - T_{t=t_0}}{\Delta t} - K^{(i)} T_{t=t_0+\Delta t}^{(i)} \label{eq:2.4.19} \end{equation}\]

Xüsusilə stasionar analizdə iterativ hesablama aşağıdakı tənliklə aparılır.

\[ K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} = F_{t=\infty} - K_T^{(i)} \Delta T_{t=\infty}^{(i)} \]
\[\begin{equation} T_{t=\infty}^{(i+1)} = T_{t=\infty}^{(i)} + \Delta{T}_{t=\infty}^{(i)} \label{eq:2.4.20} \end{equation}\]

Qeyri-stasionar analizdə zaman artımı \(\Delta t\) seçilərkən zaman üzrə diskretləşdirmədə dolayı üsul tətbiq edildiyi üçün, ümumiyyətlə onun ölçüsünə məhdudiyyət qoyulmur. Lakin zaman artımı \(\Delta t\) həddən artıq böyük olarsa, iterativ hesablamada yığılma üçün tələb olunan iterasiyaların sayı artır. Ümumiyyətlə, zaman artımı \(\Delta t\) həddən artıq böyük olduqda iterasiyaların sayı artır. Tətbiqdə qalıq vektorunun ölçüsü izlənilir; yığılma yavaşdırsa \(\Delta t\) azaldılır, iterasiyaların sayı azdırsa \(\Delta t\) artırılır. Bunun üçün avtomatik artım idarəetməsi istifadə olunur（→ ətraflı məlumat üçün Addım idarəetməsi bölməsinə baxın）.

Əlaqəli mövzular

AI-assisted translation May contain errors Official docs Status